6 Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)
6.1 Setup
Das Beispieldaten-Setup für die CFA ist identisch mit dem Setup der Kapitel zu PCA und EFA, bis auf eine kleine Änderung der Variablennamen.
Packages laden, Daten einlesen und aufbereiten:
pacman::p_load(tidyverse, ggplot2, ggthemes, psych, haven, EFAutilities, knitr, lavaan, semPlot, psychTools)# Daten einlesen
data <- read_sav("https://github.com/methodenlehre/data/blob/master/beispieldaten.sav?raw=true")
# Datenframe mit nur den Items zur Lebenszufriedenheit erstellen
ls <- data |>
select(num_range("leben", 1:10)) |>
drop_na()Die Daten der Lebenszufriedenheit bestehen aus 10 Items, welche sich auf verschiedene Aspekte/Bereiche der Lebenszufriedenheit beziehen. Die Jugendlichen wurden gefragt:
“Wie zufrieden bist Du…”
| Fragen | |
|---|---|
| leben1 | mit deinen Schulnoten? |
| leben2 | mit deinem Aussehen und deiner Erscheinung? |
| leben3 | mit der Beziehung zu deinen Lehrern? |
| leben4 | mit allem, was mit der Schule zu tun hat? |
| leben5 | mit allem, was mit deiner Beziehung zu anderen Menschen zu tun hat? |
| leben6 | mit deiner Person? |
| leben7 | mit der Beziehung zu deinen Freunden? |
| leben8 | mit der Beziehung zu deinen Eltern? |
| leben9 | mit dem Zusammenleben mit den anderen Familienmitgliedern? |
| leben10 | mit dem Lebensstandard und dem Ansehen deiner Familie? |
Geantwortet wurde auf einer 7-stufigen Skala von 1 = “überhaupt nicht zufrieden” bis 7 = “sehr zufrieden”.
Die Fragen zur Lebenszufriedenheit können in vier Aspekte/Bereiche gegliedert werden:
Familie: Items 8, 9 und 10
Schule: Items 1, 3 und 4
Selbst: Items 2 und 6
Freunde: Items 7 und 5
Entsprechend ändern wir jetzt die Namen der Variablen, damit die Zuordnung etwas klarer wird. Um die Reihenfolge der Variablen mit ihrer inhaltlichen Ausrichtung in Übereinstimmung zu bringen, ändern wir die Reihenfolge noch mit select().
ls <- ls |>
rename(
fam1 = leben8,
fam2 = leben9,
fam3 = leben10,
schule1 = leben1,
schule2 = leben3,
schule3 = leben4,
selbst1 = leben2,
selbst2 = leben6,
freund1 = leben5,
freund2 = leben7
) |>
select(
schule1, schule2, schule3, selbst1, selbst2,
freund1, freund2, fam1, fam2, fam3
)summary(ls) schule1 schule2 schule3 selbst1
Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
1st Qu.:4.000 1st Qu.:4.000 1st Qu.:4.000 1st Qu.:5.000
Median :5.000 Median :5.000 Median :5.000 Median :5.000
Mean :4.754 Mean :4.797 Mean :4.435 Mean :5.214
3rd Qu.:6.000 3rd Qu.:6.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:6.000
Max. :7.000 Max. :7.000 Max. :7.000 Max. :7.000
selbst2 freund1 freund2 fam1
Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
1st Qu.:5.000 1st Qu.:5.000 1st Qu.:6.000 1st Qu.:5.000
Median :6.000 Median :6.000 Median :6.000 Median :6.000
Mean :5.678 Mean :5.594 Mean :6.217 Mean :5.833
3rd Qu.:6.000 3rd Qu.:6.000 3rd Qu.:7.000 3rd Qu.:7.000
Max. :7.000 Max. :7.000 Max. :7.000 Max. :7.000
fam2 fam3
Min. :1.000 Min. :1.000
1st Qu.:5.000 1st Qu.:5.000
Median :6.000 Median :6.000
Mean :5.627 Mean :5.808
3rd Qu.:6.000 3rd Qu.:7.000
Max. :7.000 Max. :7.000 6.1.1 Ausreisser beseitigen
Wie in der Übung zur exploratorischen Faktorenanalyse/Hauptkomponentenanalyse entfernen wir alle Personen aus dem Datensatz, die auf mindestens einer der zehn Lebenszufriedenheitsvariablen einen Wert ausserhalb von +/- 3 SD vom Mittelwert aufweisen. Auch für die ML-Schätzung bei der CFA gilt die Annahme einer multivariaten Normalverteilung, die insbesondere durch starke Ausreisserwerte verletzt werden kann. Durch die Entfernung von Ausreisserwerten wollen wir ausserdem sicherstellen, dass einflussreiche Datenpunkte möglichst keine Rolle für die Faktorlösung spielen.
# Definition einer Funktion `keep`, die nur Datenpunkte auswählt, die zwischen
# +/- 3 Standardabweichungen einer Variablen liegen
keep <- function(x) {
mx <- mean(x) # Wir speichern den Mittelwert der Variable
sd3 <- 3 * sd(x) # Hier speichern wir die Standardabweichung * 3
between(x, left = mx - sd3, right = mx + sd3)
}
# Wir nutzen die Funktion filter(). Wir behalten alle Rows (Personen), die keinen Wert haben,
# der stärker vom Variablen-Mittelwert abweicht als 3 sd's.
ls_clean <- ls |>
filter(rowMeans(sapply(ls, keep)) == 1)6.2 lavaan
Lavaan ist ein kostenloses Open-Source-Paket für die latente Variablenmodellierung in R. Man kann Lavaan verwenden, um eine Vielzahl von statistischen Modellen zu schätzen. Zum Beispiel Pfadanalysen, Strukturgleichungsmodelle und eben auch konfirmatorische Faktorenanalysen (CFA).
Der Name lavaan kommt von latent variable analysis.
In dieser Übung beschränken wir uns vor allem auf die cfa()-Funktion von lavaan.
Die Berechnung einer CFA mit lavaan besteht aus zwei Schritten. Zuerst muss ein Modell definiert werden, dann kann das Modell mit der cfa()-Funktion geschätzt werden. Diese Funktion nimmt als Input unsere Daten und unsere Modelldefinition.
6.2.1 Modell definieren
Modelldefinitionen in lavaan folgen alle der selben Syntax.
In der Syntax sind gewisse Zeichen (Operatoren) vordefiniert und es werden auch bestimmte Voreinstellungen vorgenommen, die man ggf. überschreiben muss. Z.B. wird per default die Skalierung der latenten Variablen über die Fixierung (auf den Wert 1) des Ladungsparameters des jeweils ersten Indikators (manifeste Variable) für eine bestimmte latente Variable erreicht. Ausserdem müssen die Ladungsparameter des Modells nicht explizit definiert werden, genauso wenig wie die Varianzparameter der Residualvariablen der manifesten Variablen.
=~ bedeutet, dass die zu bildende latente Variable (hier z.B. Faktor1, Name frei wählbar) links von dem Operator durch alle Variablen rechts davon definiert wird. Die manifesten (gemessenen) Variablen auf der rechten Seite werden mit einem + separiert. Diese müssen im Datenframe vorhanden sein.
Ein Beispiel für sechs Items, welche durch zwei Faktoren (latente Variablen) erklärt werden:
bsp_model <- "
# Die Reihenfolge, mit der die Faktoren definiert werden, spielt keine Rolle.
Faktor1 =~ var1 + var2 + var3
Faktor2 =~ var4 + var5 + var6
# Die Reihenfolge der manifesten Variablen ist nur für die Fixierung einer Ladung
# pro Faktor von Bedeutung. Hier werden die Ladungen von `var1` und `var4` auf
# den Wert 1 fixiert.
# Zudem haben wir Kommentare im String, die von lavaan ignoriert werden.
"Eine weitere Voreinstellung ist, dass für alle latenten Variablen in einer CFA automatisch eine Faktor-Kovarianz spezifiziert wird. Der Operator für die Spezifikation einer Kovarianz ist ~~. D.h. wir könnten in diesem Beispiel auch noch eine weitere Zeile mit Faktor1 ~~ Faktor2 hinzufügen, ohne dass sich an der Modelldefinition etwas ändern würde.
6.2.2 Modell schätzen
Ein Modell kann mit folgender Syntax geschätzt werden: cfa(model = bsp_model, data = dataframe)
Die direkte Ausführung dieser Syntax ergibt allerdings nur einen sehr begrenzten Output, der nur die Anzahl der geschätzten Parameter, der Anzahl Beobachtungen sowie die Chi-Quadrat-Statistik enthält.
Daher muss das Ergebnis von cfa() zunächst in einem Output-Objekt (z.B. fit_bsp_model) abgespeichert und der ausführliche Output (mit den Parameterschätzern) mit summary(fit_bsp_model) extrahiert werden. Für die summary()-Funktion gibt es einige zusätzliche Argumente: fit.measures = TRUE gibt beispielsweise eine Reihe globaler Fitindizes (z.B. SRMR, RMSEA, CLI, TLI) sowie Informationskriterien (z.B. AIC und BIC) aus, und mit standardized = TRUE erhalten wir neben den unstandardisierten Parameterschätzern auch die standardisierten Parameterschätzer.
6.3 CFA zu Lebenszufriedenheitsbereichen
In diesem Kapitel fitten wir unterschiedlich komplexe CFA-Modelle auf unsere ls-Daten und vergleichen die Modelle anschliessend miteinander. Zunächst schauen wir uns theoriegeleitet ein 4-Faktor-Modell an, dann als Alternative dazu ein (sparsameres, da weniger Parameter schätzendes) 3-Faktor-Modell. In einem Vertiefungsteil schauen wir uns dann noch eine alternative Formulierung des 3-Faktor-Modells an, um zu zeigen, dass das 3-Faktor-Modell im 4-Faktor-Modell genestet ist (und damit ein Modellvergleich mittels LR-Test möglich ist). Die Modelle in diesem Kapitel sind Modelle mit Faktoren erster Ordnung. In Kapitel 6.3.4 betrachten wir dann noch ein Modell mit einem zusätzlichen Gesamt-Lebenszufriedenheitsfaktor zweiter Ordnung.
6.3.1 CFA mit vier Faktoren
Aus theoretischen Gründen schätzen wir zunächst ein Modell mit vier Faktoren. Für jeden inhaltlich definierten Lebenszufriedenheitsbereich (Schule, Selbst, Freunde, Familie) definieren wir einen Faktor. Ausserdem postulieren wir wie üblich eine Einfachstruktur, d.h. alle potentiellen Querladungen werden auf den Wert 0 restringiert (indem manifeste Variablen in der Modelldefinition nur in der Gleichung des zugehörigen Faktor auftauchen).
6.3.1.1 Modell definieren
model_4f <- "
# Der erste Faktor bezieht sich auf den Bereich `schule`
schule =~ schule1 + schule2 + schule3
# Der zweite Faktor bezieht sich auf den Bereich `selbst`
selbst =~ selbst1 + selbst2
# Der dritte Faktor bezieht sich auf den Bereich `freunde`
freunde =~ freund1 + freund2
# Der vierte Faktor bezieht sich auf den Bereich `familie`
familie =~ fam1 + fam2 + fam3
"Das Modell kann man sich folgendermassen vorstellen:
Typische Aufgabe: Schritt für Schritt
In diesem Abschnitt schauen wir uns zusammen die Struktur des CFA-Modells genauer an. Dabei hilft uns die obige Visualisierung des Modells. Fragen zur Struktur des Modells (e.g. Freiheitsgrade des Modells oder Anzahl latenter Variablen) eignen sich sehr gut, um das Verständnis von CFA-Modellen zu überprüfen.
Wie viele und welche manifeste Variablen hat das Modell?
10 manifeste Variablen: schule1, schule2, schule3, selbst1, selbst2, freund1, freund2, fam1, fam2, fam3
Wie viele Informationen \((n_{Info})\) enthält die Varianz-Kovarianz-Matrix der manifesten Variablen?
\(n_{Info} = \frac{p \cdot (p + 1)}{2} = \frac{10\cdot11}{2} = 55\)
Das könnte man auch ganz einfach zählen, wenn man sich die Varianz-Kovarianz Matrix der manifesten Variablen ansieht und dann die Einträge in dieser Matrix zählt.
Beachte dabei, dass wie immer jeder Kovarianz-Wert doppelt vorkommt (die Matrix ist symmetrisch). Wir dürfen aber nur jeweils einen davon zählen. Hier zählen wir das untere Dreieck der Matrix (und die Diagonale, auf der sich die Varianz-Werte befinden).
schul1 schul2 schul3 slbst1 slbst2 frend1 frend2 fam1 fam2 fam3
schule1 1
schule2 2 11
schule3 3 12 20
selbst1 4 13 21 28
selbst2 5 14 22 29 35
freund1 6 15 23 30 36 41
freund2 7 16 24 31 37 42 46
fam1 8 17 25 32 38 43 47 50
fam2 9 18 26 33 39 44 48 51 53
fam3 10 19 27 34 40 45 49 52 54 55Wie viele und welche latenten Variablen hat das Modell?
14 latente Variablen: 4 Faktoren (familie, schule, selbst, freunde) und 10 Residualvariablen der manifesten Variablen (ohne Namen)
Wie viele und welche Parameter müssen geschätzt werden? \((n_{Par})\)
6 Faktorladungen
10 Varianzen der Residualvariablen der manifesten Variablen
4 Varianzen der latenten Faktoren
6 Kovarianzen zwischen den latenten Faktoren
\(n_{Par} = 6 + 10 + 4 + 6 = 26\)
Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Modell?
\(df = n_{Info} - n_{Par} = 55 - 26 = 29\)
6.3.1.2 Modell schätzen
fit_mod4f <- cfa(model_4f, data = ls_clean)
summary(fit_mod4f, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE)lavaan 0.6.17 ended normally after 40 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 26
Number of observations 255
Model Test User Model:
Test statistic 51.433
Degrees of freedom 29
P-value (Chi-square) 0.006
Model Test Baseline Model:
Test statistic 583.039
Degrees of freedom 45
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.958
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.935
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -3427.760
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3402.044
Akaike (AIC) 6907.520
Bayesian (BIC) 6999.593
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 6917.166
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.055
90 Percent confidence interval - lower 0.029
90 Percent confidence interval - upper 0.079
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.341
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.045
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.053
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule =~
schule1 1.000 0.572 0.420
schule2 1.431 0.257 5.572 0.000 0.819 0.638
schule3 1.995 0.403 4.947 0.000 1.141 0.858
selbst =~
selbst1 1.000 0.730 0.669
selbst2 0.940 0.156 6.028 0.000 0.685 0.784
freunde =~
freund1 1.000 0.661 0.791
freund2 0.614 0.117 5.235 0.000 0.406 0.531
familie =~
fam1 1.000 0.782 0.742
fam2 1.061 0.129 8.233 0.000 0.830 0.846
fam3 0.598 0.084 7.136 0.000 0.467 0.510
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule ~~
selbst 0.075 0.039 1.947 0.052 0.180 0.180
freunde 0.111 0.039 2.862 0.004 0.293 0.293
familie 0.098 0.040 2.427 0.015 0.219 0.219
selbst ~~
freunde 0.296 0.059 5.049 0.000 0.614 0.614
familie 0.142 0.052 2.735 0.006 0.249 0.249
freunde ~~
familie 0.178 0.048 3.700 0.000 0.344 0.344
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.schule1 1.528 0.147 10.414 0.000 1.528 0.824
.schule2 0.978 0.137 7.130 0.000 0.978 0.593
.schule3 0.469 0.209 2.245 0.025 0.469 0.265
.selbst1 0.656 0.100 6.575 0.000 0.656 0.552
.selbst2 0.295 0.076 3.865 0.000 0.295 0.386
.freund1 0.262 0.079 3.301 0.001 0.262 0.375
.freund2 0.419 0.047 8.948 0.000 0.419 0.718
.fam1 0.498 0.079 6.336 0.000 0.498 0.449
.fam2 0.274 0.077 3.574 0.000 0.274 0.285
.fam3 0.622 0.061 10.240 0.000 0.622 0.740
schule 0.327 0.109 3.001 0.003 1.000 1.000
selbst 0.532 0.120 4.452 0.000 1.000 1.000
freunde 0.437 0.095 4.594 0.000 1.000 1.000
familie 0.611 0.109 5.593 0.000 1.000 1.000\(~\)
Interpretation des Modells
Eine korrekte Interpretation des R Outputs ist ein wichtiger Bestandteil der Lernziele für die CFA.
Wie sehen die Faktorladungen aus? Sind alle signifikant?
Alle Faktorladungen sind signifikant (\(p < 0.001\)). Die standardisierten Ladungen (Std.all) schwanken zwischen 0.420 (schule =~ schule1) und 0.858 (schule =~ schule3).
Sind die Kovarianzen/Korrelationen zwischen den Faktoren signifikant?
Bis auf schule ~~ selbst (\(p = 0.052\)) sind alle Kovarianzen signifikant. Die stärkste Kovarianz/Korrelation findet sich mit 0.296/0.614 zwischen freunde ~~ selbst, also zwischen den beiden Faktoren, die in der EFA zusammen auf einem Faktor geladen haben.
Sind die Faktorvarianzen sowie Varianzen der Residualvariablen signifikant?
Ja, alle Residualvarianzen sind signifikant (\(p < 0.05\)).
Wie gross sind die Kommunalitäten der manifesten Variablen?
Die Kommunalitäten erhalten wir entweder über eine Quadrierung der zu einer manifesten Variablen gehörenden standardisierten Ladung oder über die Differenz 1 minus die standardisierte Residualvarianz (Uniqueness) einer manifesten Variablen.
Die höchste Kommunalität ist daher die von schule3 mit \(0.858^2 = 1 - 0.265 \approx 0.735\) und die niedrigste die von schule1 mit \(0.420^2 = 1 - 0.824 \approx 0.176\).
6.3.1.3 Modell visualisieren
Wir visualisieren Strukturgleichungsmodelle mit dem Package semPlot.
semPaths(fit_mod4f, "par",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7, shapeMan = "rectangle",
sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
6.3.1.4 Lokaler Fit: Vergleich der empirischen mit der vom Modell implizierten Varianz-Kovarianz-Matrix
Lokaler Fit bezieht sich auf die Frage, wie gut das Modell einzelne beobachtete Varianzen und Kovarianzen abbildet/repräsentiert. Wir vergleichen dafür die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianz-Matrix mit der empirischen Varianz-Kovarianz-Matrix (der gemessenen Variablen).
Die Funktion lavInspect() aus dem Package lavaan ermöglicht die Extraktion von Informationen aus einem lavaan-Objekt. Mit dem Argument what spezifiziert man, welche Informationen extrahiert werden sollen. Der Wert sampstat dieses Arguments steht für “sample statistics”, also für die empirische Varianz-Kovarianz-Matrix:
lavInspect(fit_mod4f, what = "sampstat")$cov
schul1 schul2 schul3 slbst1 slbst2 frend1 frend2 fam1 fam2 fam3
schule1 1.855
schule2 0.444 1.648
schule3 0.640 0.944 1.771
selbst1 0.104 0.156 0.235 1.189
selbst2 0.167 0.015 0.105 0.500 0.765
freund1 0.193 0.088 0.249 0.312 0.271 0.699
freund2 0.043 0.095 0.098 0.151 0.183 0.268 0.584
fam1 0.369 0.134 0.159 0.136 0.189 0.170 0.168 1.110
fam2 0.258 0.162 0.137 0.067 0.118 0.164 0.116 0.656 0.962
fam3 0.136 0.173 0.242 0.144 0.198 0.160 0.099 0.326 0.394 0.841Die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianz-Matrix erhält man mit what = 'implied':
lavInspect(fit_mod4f, what = "implied")$cov
schul1 schul2 schul3 slbst1 slbst2 frend1 frend2 fam1 fam2 fam3
schule1 1.855
schule2 0.468 1.648
schule3 0.653 0.934 1.771
selbst1 0.075 0.108 0.150 1.189
selbst2 0.071 0.101 0.141 0.500 0.765
freund1 0.111 0.159 0.221 0.296 0.278 0.699
freund2 0.068 0.097 0.136 0.182 0.171 0.268 0.584
fam1 0.098 0.140 0.196 0.142 0.134 0.178 0.109 1.110
fam2 0.104 0.149 0.208 0.151 0.142 0.189 0.116 0.649 0.962
fam3 0.059 0.084 0.117 0.085 0.080 0.106 0.065 0.365 0.388 0.841Je kleiner die Unterschiede zwischen diesen beiden Matrizen, desto besser passt das Modell auf die Daten, d.h. desto näher kommen die aus den geschätzten Parametern zurückgerechneten Varianzen und Kovarianzen an die empirischen Varianzen und Kovarianzen heran.
# Differenz der Matrizen berechnen und Ergebnis (Residualmatrix)
# in einem Objekt abspeichern
residualmatrix <-
lavInspect(fit_mod4f, what = "sampstat")$cov -
lavInspect(fit_mod4f, what = "implied")$cov
residualmatrix schul1 schul2 schul3 slbst1 slbst2 frend1 frend2 fam1 fam2 fam3
schule1 0.000
schule2 -0.024 0.000
schule3 -0.013 0.009 0.000
selbst1 0.028 0.049 0.085 0.000
selbst2 0.096 -0.086 -0.036 0.000 0.000
freund1 0.082 -0.070 0.028 0.016 -0.007 0.000
freund2 -0.025 -0.002 -0.038 -0.031 0.012 0.000 0.000
fam1 0.271 -0.007 -0.037 -0.006 0.055 -0.008 0.059 0.000
fam2 0.154 0.013 -0.071 -0.084 -0.023 -0.024 0.001 0.007 0.000
fam3 0.077 0.089 0.125 0.059 0.118 0.054 0.034 -0.040 0.006 0.000Eine direkte Extraktion der Residualmatrix ist mit dem Argument what = "resid" möglich:
residualmatrix2 <- lavInspect(fit_mod4f, what = "resid")$covUm das ganze in diesem Dokument nicht doppelt darzustellen, zeigen wir lediglich, dass der Inhalt der beiden Objekte residualmatrix und residualmatrix2 exakt gleich ist:
all.equal(residualmatrix, residualmatrix2)[1] TRUEFür die lokale Fit-Diagnose besonders relevant ist die Varianz-Kovarianz-Matrix der standardisierten Residuen. Diese extrahieren wir nicht mit lavInspect(), sondern direkt mit resid().
resid(fit_mod4f, type = "standardized")$cov schul1 schul2 schul3 slbst1 slbst2 frend1 frend2 fam1 fam2 fam3
schule1 0.000
schule2 -0.640 0.000
schule3 -1.035 2.314 0.000
selbst1 0.336 0.698 1.529 0.000
selbst2 1.437 -1.738 -1.196 0.000 0.000
freund1 1.331 -1.659 1.254 1.235 -0.901 0.000
freund2 -0.421 -0.044 -0.843 -1.100 0.680 0.000 0.000
fam1 3.298 -0.106 -0.764 -0.126 1.645 -0.266 1.560 0.000
fam2 2.081 0.243 -2.382 -2.080 -1.010 -1.338 0.017 2.679 0.000
fam3 1.064 1.357 1.960 1.080 2.829 1.386 0.892 -2.809 0.790 0.000\(~\)
Interpretation der Residuen
Betrachten Sie die Sample-(Ko-)Varianzmatrix und die Implizierte (Ko-)Varianzmatrix. Welches sind die drei stärksten Abweichungen zwischen beiden Matrizen? Werden die ensprechenden Varianzen/Kovarianzen vom Modell unter- oder überschätzt?
Dazu betrachten wir die unstandardisierte Residualmatrix.
fam1 ~~ schule1 = 0.271
fam2 ~~ schule1 = 0.154
fam3 ~~ schule3 = 0.125
Bei den drei grössten Abweichungen sind die empirischen Kovarianzen grösser als die vom Modell implizierten. Sie werden also durch das Modell unterschätzt, daher sind die zugehörigen Residualkovarianzen alle positiv. Inhaltlich erklärbar sind diese Abweichungen dadurch, dass im Modell keine Querladungen zugelassen sind, also z.B. Item schule1 (Schulnoten) nicht auf dem Familien-Faktor laden „darf”.
Welche sind signifikant?
Dazu benötigen wir die standardisierte Residualmatrix. Dort schauen wir, welche Werte (absolut) grösser sind als unsere z-verteilte Prüfgrösse \((\geq 2,58\: \widehat=\: p\leq 0.01)\).
Nämlich:
fam1 ~~ schule1 = 3.298
fam3 ~~ selbst2 = 2.829
fam3 ~~ fam1 = -2.809
fam2 ~~ fam1 = 2.679
Interessanterweise beziehen sich zwei der vier signifikanten Residualkovarianzen auf solche innerhalb des Familien-Faktors!
6.3.1.5 Globaler Fit
\(CFI = 0.958\) und \(NNFI/TLI = 0.935\) (siehe Output unter 3.2) nehmen Werte knapp unter empfohlenen Cut-Off-Kriterien für einen guten Fit von 0.97 bzw. 0.95 an.
Der \(RMSEA = 0.055\) liegt zwar knapp über dem Cut-Off für einen guten Model Fit von 0.05, ist aber nicht signifikant \((p = 0.341)\) grösser als dieser, und gleichzeitig signifikant kleiner als der Cut-off von 0.08, ab dem der Model Fit als schlecht gilt \((p = 0.045)\). Das 90 %-CI des RMSEA von \([0.029; 0.079]\) beinhaltet dementsprechend den Wert 0.05, nicht aber den Wert 0.08.
Auch nach dem \(SRMR = 0.053\) ist der Model Fit als gut (< 0.08) zu beurteilen.
\(~\)
CFI und NNFI/TLI sowie die Informationskriterien AIC und BIC von Hand berechnet
Wie in der Vorlesung erwähnt, sind diese Formeln prüfungsrelevant.
\(\begin{aligned} CFI &= 1-\frac{\chi_{t}^{2}-d f_{t}}{\chi_{i}^{2}-d f_{i}}\\ &= 1-\frac{51.433-29}{583.039 -45}\\ &= 1-\frac{22.433}{538.039}\\ &= 0.958 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} NNFI/TLI &= \left(\frac{\chi_{i}^{2}}{d f_{i}}-\frac{\chi_{t}^{2}}{d f_{t}}\right)/\left({\frac{\chi_{i}^{2}}{d f_{i}}-1}\right) \\ &= \left(\frac{583.039}{45}-\frac{51.433}{29}\right)/\left({\frac{583.039}{45}-1}\right) \\ &= \frac{12.956-1.774}{12.956-1} \\ &= 0.935 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} AIC &=\chi^{2}+2 \cdot t\\ &= 51.433+ 2 \cdot 26 \\ &= 103.433 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} BIC &=\chi^{2}+ \ln (n) \cdot t \\ &=51.433 + 26 \cdot \ln (255)\\ &=51.433+26 \cdot 5.541\\ &= 195.499 \end{aligned}\)
\(~\)
AIC und BIC unterscheiden sich von den von lavaan berechneten Werten, da letztere auf Basis der -2 Log-Likelihood und nicht auf der Basis von Chi-Quadrat berechnet werden. Für Modellvergleiche (s.u.) spielt es aber keine Rolle, welche dieser beiden Model-Fit-Statistiken man als Ausgangspunkt für die Berechnung von AIC und BIC nimmt. Da sich Chi-Quadrat und -2 Log-Likelihood nur um eine zu vernachlässigende Konstante voneinander unterscheiden, weist z.B. der AIC zweier Modelle immer dieselbe Differenz unabhängig von der Berechnungsart auf.
6.3.2 CFA mit drei Faktoren
6.3.2.1 Modell definieren
Wir definieren hier ein Modell mit drei Faktoren, da wir bei der EFA gesehen haben, dass ein solches möglicherweise ein sparsameres Alternativmodell sein könnte.
model_3f <- "
# Der erste Faktor ist `schule`
schule =~ schule1 + schule2 + schule3
# Als zweiten Faktor kombinieren wir jetzt `selbst` und `freunde`
selbstfreunde =~ selbst1 + selbst2 + freund1 + freund2
# Zum Schluss die `familie`
familie =~ fam1 + fam2 + fam3
"6.3.2.2 Modell schätzen
fit_mod3f <- cfa(model_3f, data = ls_clean)
summary(fit_mod3f, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE)lavaan 0.6.17 ended normally after 39 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 23
Number of observations 255
Model Test User Model:
Test statistic 79.522
Degrees of freedom 32
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 583.039
Degrees of freedom 45
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.912
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.876
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -3441.804
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3402.044
Akaike (AIC) 6929.609
Bayesian (BIC) 7011.058
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 6938.142
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.076
90 Percent confidence interval - lower 0.055
90 Percent confidence interval - upper 0.098
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.021
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.408
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.064
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule =~
schule1 1.000 0.577 0.424
schule2 1.436 0.258 5.574 0.000 0.828 0.645
schule3 1.954 0.393 4.971 0.000 1.127 0.847
selbstfreunde =~
selbst1 1.000 0.686 0.629
selbst2 0.889 0.127 7.006 0.000 0.610 0.698
freund1 0.741 0.110 6.722 0.000 0.509 0.608
freund2 0.502 0.092 5.465 0.000 0.344 0.450
familie =~
fam1 1.000 0.787 0.747
fam2 1.048 0.128 8.191 0.000 0.824 0.840
fam3 0.596 0.084 7.131 0.000 0.469 0.511
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule ~~
selbstfreunde 0.103 0.039 2.616 0.009 0.261 0.261
familie 0.102 0.041 2.468 0.014 0.225 0.225
selbstfreunde ~~
familie 0.178 0.051 3.507 0.000 0.331 0.331
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.schule1 1.522 0.147 10.379 0.000 1.522 0.821
.schule2 0.962 0.139 6.926 0.000 0.962 0.584
.schule3 0.501 0.206 2.429 0.015 0.501 0.283
.selbst1 0.718 0.087 8.236 0.000 0.718 0.604
.selbst2 0.393 0.057 6.907 0.000 0.393 0.513
.freund1 0.441 0.051 8.572 0.000 0.441 0.630
.freund2 0.466 0.046 10.154 0.000 0.466 0.797
.fam1 0.491 0.079 6.189 0.000 0.491 0.443
.fam2 0.283 0.077 3.700 0.000 0.283 0.295
.fam3 0.621 0.061 10.222 0.000 0.621 0.739
schule 0.333 0.110 3.019 0.003 1.000 1.000
selbstfreunde 0.470 0.103 4.571 0.000 1.000 1.000
familie 0.619 0.110 5.607 0.000 1.000 1.0006.3.2.3 Modell visualisieren
semPaths(fit_mod3f, "par",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7, shapeMan = "rectangle",
sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
\(~\)
Und jetzt mit standardisierten Parameterschätzern:
semPaths(fit_mod3f, "std",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7, shapeMan = "rectangle",
sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
6.3.2.4 Globaler Fit
\(CFI = 0.912\) und \(NNFI/TLI = 0.876\) sind jetzt deutlich niedriger als die empfohlenen Cut-Off-Kriterien.
Der \(RMSEA = 0.076\) ist jetzt auch signifikant grösser als der Cut-Off von 0.05 \((p = 0.021)\) und nicht mehr signifikant kleiner als 0.08 \((p = 0.408)\). Das 90 %-CI des RMSEA von \([0.055; 0.098]\) beinhaltet dementsprechend den Wert 0.05 nicht, den Wert 0.08 aber schon.
Lediglich nach dem \(SRMR = 0.064\) ist der Model Fit noch als gut (< 0.08) zu beurteilen.
CFI und NNFI/TLI sowie die Informationskriterien AIC und BIC von Hand berechnet
\(\begin{aligned} CFI &= 1-\frac{\chi_{t}^{2}-d f_{t}}{\chi_{i}^{2}-d f_{i}}\\ &= 1-\frac{79.522-32}{583.039 -45}\\ &=1-\frac{47.522}{538.039}\\ &=0.912 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} NNFI/TLI &= \left(\frac{\chi_{i}^{2}}{d f_{i}}-\frac{\chi_{t}^{2}}{d f_{t}}\right)/\left({\frac{\chi_{i}^{2}}{d f_{i}}-1}\right) \\ &= \left(\frac{583.039}{45}-\frac{79.522}{32}\right)/\left({\frac{583.039}{45}-1}\right) \\ &= \frac{12.956-2.485}{12.956-1} \\ &= 0.876 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} AIC &= \chi^{2}+2 \cdot t\\ &= 79.522+ 2 \cdot 23 \\ &= 125.522 \end{aligned}\)
\(~\)
\(\begin{aligned} BIC &= \chi^{2}+t \cdot \ln (n)\\ &=79.522 + 23 \cdot \ln (255)=79.522+23 \cdot 5.541\\ &= 206.965 \end{aligned}\)
\(~\)
Ein 3-Faktor-Modell ist alternativ spezifizierbar, indem bestimmte Parameter des 4-Faktor-Modells restringiert werden. Damit können wir zeigen, dass das 3-Faktor-Modell im 4-Faktor-Modell genestet ist.
Um aus dem 4-Faktor-Modell ein 3-Faktor-Modell mit einem kombinierten Selbst- und Freunde-Faktor zu machen, muss durch Parameterrestriktionen dafür gesorgt werden, dass die Faktoren freunde und selbst sich wie ein einziger Faktor verhalten. Damit diese zwei Faktoren zu einem werden, muss zum einen die Kovarianz zwischen den beiden Faktoren auf den Wert 1 gesetzt werden (Syntax siehe unten). Damit eine Kovarianz von 1 wirklich eine exakte Gleichheit der beiden Faktoren bedeutet, müssen auch die Varianzen der beiden latenten Variablen gleich 1 sein (damit wird dann auch die Korrelation zwischen den latenten Variablen 1). Die einfachste Möglichkeit, um das zu erreichen, ist die Festlegung der Varianzen aller latenten Variablen auf den Wert 1 mit dem cfa()-Argument std.lv = TRUE, das gleichzeitg dafür sorgt, dass auch die Ladungen der ersten manifesten Variablen jedes Faktors frei geschätzt werden. Dieser Aspekt wird also nicht in der Modelldefinition, sondern erst bei der Modellschätzung festgelegt!
Zum anderen müssen die Zusammenhänge der Faktoren mit allen anderen Faktoren für beide Faktoren (freunde und selbst) identisch sein. Dies können wir erreichen, indem wir die Parameter der Faktoren-Kovarianzen benennen (d.h. explizit spezifizieren) und gleichzeitig den beiden gleichzusetzenden Parametern denselben Namen geben. Z.B. soll die Kovarianz von freunde und schule genau gleich geschätzt werden wie die Kovarianz zwischen selbst und schule. Wenn wir beide zu schätzende Parameter mit a benennen, erkennt lavaan, dass für beide Kovarianzen derselbe Wert geschätzt werden soll.
Dieses Modell nennen wir model_4f_res.
Modell definieren
model_4f_res <- "
schule =~ schule1 + schule2 + schule3
selbst =~ selbst1 + selbst2
freunde =~ freund1 + freund2
familie =~ fam1 + fam2 + fam3
# Restriktion Kovarianz
freunde ~~ 1 * selbst
# Gleichheitsrestriktionen: Kovarianzen mit gleichbenannten Parametern
freunde ~~ a * schule
selbst ~~ a * schule
freunde ~~ b * familie
selbst ~~ b * familie
"Modell schätzen
fit_mod4f_res <- cfa(model_4f_res, std.lv = TRUE, data = ls_clean)
summary(fit_mod4f_res, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE)lavaan 0.6.17 ended normally after 26 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 25
Number of equality constraints 2
Number of observations 255
Model Test User Model:
Test statistic 79.522
Degrees of freedom 32
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 583.039
Degrees of freedom 45
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.912
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.876
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -3441.804
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3402.044
Akaike (AIC) 6929.609
Bayesian (BIC) 7011.058
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 6938.142
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.076
90 Percent confidence interval - lower 0.055
90 Percent confidence interval - upper 0.098
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.021
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.408
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.064
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule =~
schule1 0.577 0.096 6.037 0.000 0.577 0.424
schule2 0.828 0.097 8.499 0.000 0.828 0.645
schule3 1.127 0.111 10.109 0.000 1.127 0.847
selbst =~
selbst1 0.686 0.075 9.141 0.000 0.686 0.629
selbst2 0.610 0.060 10.126 0.000 0.610 0.698
freunde =~
freund1 0.509 0.058 8.829 0.000 0.509 0.608
freund2 0.344 0.054 6.378 0.000 0.344 0.450
familie =~
fam1 0.787 0.070 11.214 0.000 0.787 0.747
fam2 0.824 0.066 12.461 0.000 0.824 0.840
fam3 0.469 0.060 7.783 0.000 0.469 0.511
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
selbst ~~
freunde 1.000 1.000 1.000
schule ~~
freunde (a) 0.261 0.081 3.216 0.001 0.261 0.261
selbst (a) 0.261 0.081 3.216 0.001 0.261 0.261
freunde ~~
familie (b) 0.331 0.077 4.304 0.000 0.331 0.331
selbst ~~
familie (b) 0.331 0.077 4.304 0.000 0.331 0.331
schule ~~
familie 0.225 0.077 2.922 0.003 0.225 0.225
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.schule1 1.522 0.147 10.379 0.000 1.522 0.821
.schule2 0.962 0.139 6.926 0.000 0.962 0.584
.schule3 0.501 0.206 2.429 0.015 0.501 0.283
.selbst1 0.718 0.087 8.236 0.000 0.718 0.604
.selbst2 0.393 0.057 6.907 0.000 0.393 0.513
.freund1 0.441 0.051 8.572 0.000 0.441 0.630
.freund2 0.466 0.046 10.154 0.000 0.466 0.797
.fam1 0.491 0.079 6.189 0.000 0.491 0.443
.fam2 0.283 0.077 3.700 0.000 0.283 0.295
.fam3 0.621 0.061 10.222 0.000 0.621 0.739
schule 1.000 1.000 1.000
selbst 1.000 1.000 1.000
freunde 1.000 1.000 1.000
familie 1.000 1.000 1.000Modell visualisieren
Mit standardisierten Parameterschätzern:
semPaths(fit_mod4f_res, "std", "par",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7,
shapeMan = "rectangle", sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
Um bei allen Parametern exakt die gleichen standardisierten Parameterschätzer zu erhalten wie im “normal” definierten 3-Faktor-Modell oben, muss letzteres auch mit der Option std.lv = TRUE geschätzt werden. Sonst ergeben sich hier aufgrund der unterschiedlichen Festlegung der Skalierung der latenten Variablen kleine Unterschiede bei den Ladungen und bei den Residualvarianzen.
fit_mod3f_alt <- cfa(model_3f, std.lv = TRUE, data = ls_clean)
semPaths(fit_mod3f_alt, "std", "par",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7,
shapeMan = "rectangle", sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
Modellvergleich von 3-Faktor-Modell und alternativem 3-Faktor-Modell
Ein Modellvergleich sollte jetzt zeigen, dass das 3-Faktor-Modell und das restringierte 4-Faktor-Modell gleich gut fitten, weil sie identisch sind.
Wir testen das:
anova(fit_mod3f, fit_mod4f_res)
Chi-Squared Difference Test
Df AIC BIC Chisq Chisq diff RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
fit_mod3f 32 6929.6 7011.1 79.522
fit_mod4f_res 32 6929.6 7011.1 79.522 2.2919e-10 0 0 Das ist der Fall! (Die sehr kleine Zahl bei Chisq diff kommt durch minimale numerische Ungenauigkeiten bei der ML-Schätzung zu Stande.)
6.3.3 Modellvergleich 3-Faktor-Modell und 4-Faktor-Modell
Ausserdem wollen wir noch das 3-Faktor-Modell gegen das ursprüngliche 4-Faktormodell testen.
Dieser Test überprüft, ob die Nullhypothese, dass das 3-Faktor-Modell nicht schlechter als das 4-Faktor-Modell auf die Daten passt, aufrechterhalten werden kann oder abgelehnt werden muss.
anova(fit_mod3f, fit_mod4f)
Chi-Squared Difference Test
Df AIC BIC Chisq Chisq diff RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
fit_mod4f 29 6907.5 6999.6 51.433
fit_mod3f 32 6929.6 7011.1 79.522 28.089 0.1811 3 3.479e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Der Vergleich ist signifikant. Das 3-Faktormodell passt also signifikant schlechter auf die Daten als das 4-Faktor-Modell.
Diese Schlussfolgerung ergibt sich auch aufgrund der oben bereits von Hand berechneten Informationskriterien AIC und BIC:
Beim AIC ergab sich für das 4-Faktor-Modell ein Wert von 103.433 und für das 3-Faktor-Modell ein Wert von 125.522 (respektive die von lavaan ausgegebenen AIC-Werte von 6907.52 und 6929.609). Nach dem AIC ist also das 4-Faktor-Modell zu bevorzugen (kleinerer AIC).
Beim BIC ergibt sich ein ähnliches Bild: von Hand gerechnet beim 4-Faktor-Modell BIC = 195.499 und beim 3-Faktor-Modell BIC = 206.965 (von lavaan ausgegebene Werte: 6999.593 und 7011.058). Auch nach dem (im Vergleich zum AIC) eher sparsamere Modelle (mit weniger Parametern) bevorzugenden BIC sollte also das 4-Faktor-Modell ausgewählt werden.
6.3.4 Modell mit Lebenszufriedenheitsfaktor zweiter Ordnung
Wie wir sehen können, sind die vier Faktoren im 4-Faktor-Modell alle positiv untereinander korreliert und diese Korrelationen sind mit einer Ausnahme \((r_{SchuleSelbst}=0.18, \; p = 0.052)\) auch signifikant. Dies und die Tatsache, dass die Lebenszufriedenheit in der psychologischen Forschung nicht nur bereichsspezifisch, sondern auch (und sogar vorwiegend) global konzeptualisiert wird, lassen vermuten, dass ein übergeordneter Faktor (higher order factor, 2nd order factor) Lebenszufriedenheit existiert, der die Korrelationen der bereichsspezifischen Lebenszufriedenheitsfaktoren erklären kann.
In der CFA können wir einen solchen Faktor zweiter Ordnung modellieren. Ein weiterer Faktor scheint das Modell zunächst komplizierter zu machen, doch das kann täuschen: Tatsächlich werden in einem Modell mit einem übergeordneten Faktor insgesamt zwei Parameter weniger geschätzt als im Modell mit vier Faktoren: Anstelle von sechs Kovarianzen zwischen den Faktoren werden jetzt vier Ladungen (bzw. drei Ladungen und eine Varianz des Faktors zweiter Ordnung) geschätzt.
6.3.4.1 Modell definieren
model_4f_2order <- "
schule =~ schule1 + schule2 + schule3
selbst =~ selbst1 + selbst2
freunde =~ freund1 + freund2
familie =~ fam1 + fam2 + fam3
# Übergeordneter Faktor Zufriedenheit
zufriedenheit =~ schule + selbst + freunde + familie
"6.3.4.2 Modell schätzen
fit_mod4f_2order <- cfa(model_4f_2order, ls_clean)
summary(fit_mod4f_2order, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE)lavaan 0.6.17 ended normally after 67 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 24
Number of observations 255
Model Test User Model:
Test statistic 53.372
Degrees of freedom 31
P-value (Chi-square) 0.008
Model Test Baseline Model:
Test statistic 583.039
Degrees of freedom 45
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.958
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.940
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -3428.730
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3402.044
Akaike (AIC) 6905.459
Bayesian (BIC) 6990.450
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 6914.364
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.053
90 Percent confidence interval - lower 0.027
90 Percent confidence interval - upper 0.077
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.387
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.030
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.060
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
schule =~
schule1 1.000 0.555 0.407
schule2 1.439 0.261 5.508 0.000 0.799 0.622
schule3 2.118 0.449 4.713 0.000 1.175 0.883
selbst =~
selbst1 1.000 0.736 0.675
selbst2 0.924 0.153 6.040 0.000 0.680 0.777
freunde =~
freund1 1.000 0.662 0.792
freund2 0.612 0.117 5.229 0.000 0.405 0.530
familie =~
fam1 1.000 0.780 0.741
fam2 1.068 0.131 8.136 0.000 0.833 0.849
fam3 0.595 0.084 7.106 0.000 0.465 0.507
zufriedenheit =~
schule 1.000 0.322 0.322
selbst 2.720 0.985 2.763 0.006 0.661 0.661
freunde 3.397 1.250 2.717 0.007 0.917 0.917
familie 1.686 0.661 2.550 0.011 0.386 0.386
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.schule1 1.547 0.148 10.481 0.000 1.547 0.834
.schule2 1.011 0.139 7.278 0.000 1.011 0.613
.schule3 0.390 0.231 1.689 0.091 0.390 0.220
.selbst1 0.647 0.100 6.442 0.000 0.647 0.544
.selbst2 0.303 0.075 4.020 0.000 0.303 0.396
.freund1 0.261 0.080 3.277 0.001 0.261 0.373
.freund2 0.420 0.047 8.958 0.000 0.420 0.719
.fam1 0.501 0.079 6.317 0.000 0.501 0.452
.fam2 0.268 0.078 3.429 0.001 0.268 0.279
.fam3 0.625 0.061 10.256 0.000 0.625 0.743
.schule 0.276 0.095 2.915 0.004 0.896 0.896
.selbst 0.305 0.091 3.369 0.001 0.563 0.563
.freunde 0.070 0.106 0.661 0.509 0.159 0.159
.familie 0.518 0.097 5.360 0.000 0.851 0.851
zufriedenheit 0.032 0.021 1.536 0.125 1.000 1.0006.3.4.3 Modell visualisieren
Hier jetzt gleich mit standardisierten Parametern:
semPaths(fit_mod4f_2order, "std",
weighted = FALSE, nCharNodes = 7,
shapeMan = "rectangle", sizeMan = 8, sizeMan2 = 5
)
Die Parameterschätzer zeigen, dass die stärkste standardisierte Ladung der Bereichsfaktoren (Faktoren erster Ordnung) diejenige des Bereichs Freunde ist, während die niedrigste diejenige des Bereichs Schule ist. Das Ladungsmuster zeigt sich insgesamt relativ heterogen.
6.3.4.4 Model Fit und Modellvergleiche
CFI = 0.958 und NNFI/TLI = 0.94 sind sehr ähnlich wie beim 4-Faktor-Modell. Der RMSEA = 0.053 ist noch etwas niedriger als bei letzterem und nicht signifikant grösser als 0.05 (90 %-CI = [0.027; 0.077]). Der SRMR = 0.06 fällt dagegen etwas höher als beim 4-Faktor-Modell aus.
AIC = 101.372 und BIC = 186.356 (nach der Eid-Formel mit Chi-Quadrat berechnet) sind beide niedriger als die entsprechenden Werte des 4-Faktor-Modells (AIC = 103.433 und BIC = 195.499). Nach diesen Informationskriterien ist also das Modell mit Faktor zweiter Ordnung gegenüber dem 4-Faktor-Modell zu bevorzugen.
Jetzt vergleichen wir noch alle drei Modelle (in aufsteigender Reihenfolge der Anzahl geschätzter Parameter: 3-Faktor-Modell, 4-Faktor-Modell mit Faktor zweiter Ordnung, 4-Faktor-Modell) über sequentielle Likelihood-Ratio-Tests. Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Tests ist wie wir wissen die Nestung der eingeschränkten Modelle (mit weniger Parameter) in den Modellen mit weniger Restriktionen (mit mehr Parametern). Für das 3-Faktor- und das 4-Faktor-Modell haben wir die Nestung oben nachgewiesen. Aber auch das 4-Faktor-Modell mit Faktor zweiter Ordnung ist im 4-Faktor-Modell genestet: alle Modelle, die die gleichen vier Faktoren erster Ordnung haben, sind im 4-Faktor-Modell genestet, da es sich bei diesem um ein gesättigtes Modell auf der Ebene der latenten Variablen handelt.
anova(fit_mod3f, fit_mod4f_2order, fit_mod4f)
Chi-Squared Difference Test
Df AIC BIC Chisq Chisq diff RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
fit_mod4f 29 6907.5 6999.6 51.433
fit_mod4f_2order 31 6905.5 6990.4 53.372 1.9395 0.00000 2 0.3792
fit_mod3f 32 6929.6 7011.1 79.522 26.1494 0.31405 1 3.16e-07
fit_mod4f
fit_mod4f_2order
fit_mod3f ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Der Modellvergleich zeigt, dass das 4-Faktor-Modell mit Faktor zweiter Ordnung nicht signifikant schlechter auf die Daten passt als das weniger sparsame 4-Faktor-Modell (\(\Delta\chi^2=\) 1.9395, \(p =\) 0.3792). Der zweite Test zeigt dagegen einen signifikanten Modellvergleich des 3-Faktor-Modells mit dem 4-Faktor-Modell mit Faktor zweiter Ordnung an (\(\Delta\chi^2=\) 26.1494, \(p =\) 0). Das 3-Faktor-Modell passt also auch hier signifikant schlechter.
Das beste dieser drei Modelle ist also das 4-Faktor-Modell mit Faktor zweiter Ordnung. Dieses weist auch die jeweils niedrigsten von lavaan ausgegebenen Informationskriterien aller Modelle auf (AIC = 6905.5, BIC = 6990.4).
6.4 Übung
Wir nehmen wieder Daten aus dem Big Five Inventory (bfi) mit 2800 Datenpunkten (\(n = 2800\))
Laden Sie die Daten mit folgendem Code-Chunk:
pacman::p_load(tidyverse, lavaan, psychTools, semPlot)
data("bfi", package = "psychTools")Aufgabe 1
- Definieren Sie ein Modell mit 5 sinnvollen Faktoren und lassen Sie die Faktoren frei miteinander kovariieren/korrelieren. Verwenden Sie dafür nur die Variablen, die einer Frage (Item) im bfi-Fragebogen entsprechen (also ohne die demographischen Angaben). Geben Sie den Faktoren brauchbare Namen, das hilft bei der Interpretation. Dafür schauen Sie sich am Besten die Dokumentation des Datenframes an. Tipp:
?psychTools::bfi
Modell definieren
bfi_5F <- "
Agreeableness =~ A1 + A2 + A3 + A4 + A5
Conscientiousness =~ C1 + C2 + C3 + C4 + C5
Extraversion =~ E1 + E2 + E3 + E4 + E5
Neuroticism =~ N1 + N2 + N3 + N4 + N5
Openness =~ O1 + O2 + O3 + O4 + O5
"Aus der Itemstruktur sowie der Dokumentation der Daten wird klar, dass jede der Komponente der Big Five durch einen eigenen Faktor dargestellt werden sollte. Welche Items zu welchem Faktor gehören, ist dank der Namensgebung leicht zu erkennen. Jeder Faktor hat hier fünf manifeste Variablen. Hier die Items mit Kennzeichnung der inhaltlich umgekehrt formulierten Items mit (RE).
Agreeableness:
A1: Am indifferent to the feelings of others. (RE)
A2: Inquire about others’ well-being.
A3: Know how to comfort others.
A4: Love children.
A5: Make people feel at ease.
Conscientiousness:
C1: Am exacting in my work.
C2: Continue until everything is perfect.
C3: Do things according to a plan.
C4: Do things in a half-way manner. (RE)
C5: Waste my time. (RE)
Extraversion:
E1: Don’t talk a lot. (RE)
E2: Find it difficult to approach others. (RE)
E3: Know how to captivate people.
E4: Make friends easily.
E5: Take charge.
Neuroticism:
N1: Get angry easily.
N2: Get irritated easily.
N3: Have frequent mood swings.
N4: Often feel blue.
N5: Panic easily.
Openness:
O1: Am full of ideas.
O2: Avoid difficult reading material. (RE)
O3: Carry the conversation to a higher level.
O4: Spend time reflecting on things.
O5: Will not probe deeply into a subject. (RE)
- Fitten Sie dieses Modell und stellen Sie das Modell mit der Funktion
semPaths()dar. Es sollen die standardisierten Parameterschätzer dargestellt werden. Diese Funktion finden Sie im PackagesemPlot. Lassen Sie sich das Modell inkl. Fit-Indizes und standardisierter Parameterschätzer ausgeben. Wie ist der Model-Fit zu beurteilen? Wie sind die (standardisierten) Faktorladungen zu beurteilen? Welche Korrelationen weisen die Persönlichkeitsfaktoren auf?
Modell fitten, darstellen und Ergebnisse ausgeben:
fit_bfi_5F <- cfa(data = bfi, model = bfi_5F) # Fitten
semPaths(fit_bfi_5F, "std") # Darstellen
summary(fit_bfi_5F, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE) # Ausgebenlavaan 0.6.17 ended normally after 55 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 60
Used Total
Number of observations 2436 2800
Model Test User Model:
Test statistic 4165.467
Degrees of freedom 265
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 18222.116
Degrees of freedom 300
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.782
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.754
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -99840.238
Loglikelihood unrestricted model (H1) -97757.504
Akaike (AIC) 199800.476
Bayesian (BIC) 200148.363
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 199957.729
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.078
90 Percent confidence interval - lower 0.076
90 Percent confidence interval - upper 0.080
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.037
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.075
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
Agreeableness =~
A1 1.000 0.484 0.344
A2 -1.579 0.108 -14.650 0.000 -0.764 -0.648
A3 -2.030 0.134 -15.093 0.000 -0.983 -0.749
A4 -1.564 0.115 -13.616 0.000 -0.757 -0.510
A5 -1.804 0.121 -14.852 0.000 -0.873 -0.687
Conscientiousness =~
C1 1.000 0.680 0.551
C2 1.148 0.057 20.152 0.000 0.781 0.592
C3 1.036 0.054 19.172 0.000 0.705 0.546
C4 -1.421 0.065 -21.924 0.000 -0.967 -0.702
C5 -1.489 0.072 -20.694 0.000 -1.012 -0.620
Extraversion =~
E1 1.000 0.920 0.564
E2 1.226 0.051 23.899 0.000 1.128 0.699
E3 -0.921 0.041 -22.431 0.000 -0.847 -0.627
E4 -1.121 0.047 -23.977 0.000 -1.031 -0.703
E5 -0.808 0.039 -20.648 0.000 -0.743 -0.553
Neuroticism =~
N1 1.000 1.300 0.825
N2 0.947 0.024 39.899 0.000 1.230 0.803
N3 0.884 0.025 35.919 0.000 1.149 0.721
N4 0.692 0.025 27.753 0.000 0.899 0.573
N5 0.628 0.026 24.027 0.000 0.816 0.503
Openness =~
O1 1.000 0.635 0.564
O2 -1.020 0.068 -14.962 0.000 -0.648 -0.418
O3 1.373 0.072 18.942 0.000 0.872 0.724
O4 0.437 0.048 9.160 0.000 0.277 0.233
O5 -0.960 0.060 -16.056 0.000 -0.610 -0.461
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
Agreeableness ~~
Conscientisnss -0.110 0.012 -9.254 0.000 -0.334 -0.334
Extraversion 0.304 0.025 12.293 0.000 0.683 0.683
Neuroticism 0.141 0.018 7.712 0.000 0.223 0.223
Openness -0.093 0.011 -8.446 0.000 -0.303 -0.303
Conscientiousness ~~
Extraversion -0.224 0.020 -11.121 0.000 -0.357 -0.357
Neuroticism -0.250 0.025 -10.117 0.000 -0.283 -0.283
Openness 0.130 0.014 9.190 0.000 0.301 0.301
Extraversion ~~
Neuroticism 0.292 0.032 9.131 0.000 0.244 0.244
Openness -0.265 0.021 -12.347 0.000 -0.453 -0.453
Neuroticism ~~
Openness -0.093 0.022 -4.138 0.000 -0.112 -0.112
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.A1 1.745 0.052 33.725 0.000 1.745 0.882
.A2 0.807 0.028 28.396 0.000 0.807 0.580
.A3 0.754 0.032 23.339 0.000 0.754 0.438
.A4 1.632 0.051 31.796 0.000 1.632 0.740
.A5 0.852 0.032 26.800 0.000 0.852 0.528
.C1 1.063 0.035 30.073 0.000 1.063 0.697
.C2 1.130 0.039 28.890 0.000 1.130 0.650
.C3 1.170 0.039 30.194 0.000 1.170 0.702
.C4 0.960 0.040 24.016 0.000 0.960 0.507
.C5 1.640 0.059 27.907 0.000 1.640 0.615
.E1 1.814 0.058 31.047 0.000 1.814 0.682
.E2 1.332 0.049 26.928 0.000 1.332 0.512
.E3 1.108 0.038 29.522 0.000 1.108 0.607
.E4 1.088 0.041 26.732 0.000 1.088 0.506
.E5 1.251 0.040 31.258 0.000 1.251 0.694
.N1 0.793 0.037 21.575 0.000 0.793 0.320
.N2 0.836 0.036 23.458 0.000 0.836 0.356
.N3 1.222 0.043 28.271 0.000 1.222 0.481
.N4 1.654 0.052 31.977 0.000 1.654 0.672
.N5 1.969 0.060 32.889 0.000 1.969 0.747
.O1 0.865 0.032 27.216 0.000 0.865 0.682
.O2 1.990 0.063 31.618 0.000 1.990 0.826
.O3 0.691 0.039 17.717 0.000 0.691 0.476
.O4 1.346 0.040 34.036 0.000 1.346 0.946
.O5 1.380 0.045 30.662 0.000 1.380 0.788
Agreeableness 0.234 0.030 7.839 0.000 1.000 1.000
Conscientisnss 0.463 0.036 12.810 0.000 1.000 1.000
Extraversion 0.846 0.062 13.693 0.000 1.000 1.000
Neuroticism 1.689 0.073 23.034 0.000 1.000 1.000
Openness 0.404 0.033 12.156 0.000 1.000 1.000Model-Fit:
Der Model-Fit ist nach allen Fit-Indizes (ausser dem SRMR) als ziemlich schlecht zu bewerten:
CFI = 0.782
TLI = 0.754
RMSEA = 0.078 (90% CI [0.076, 0.080])
SRMR = 0.075
Es wäre jetzt natürlich interessant zu wissen, woran das liegt. Dazu könnten wir zum einen die Matrix der standardisierten Residuen ansehen, um zu beurteilen, welche empirischen Kovarianzen durch das Modell besonders schlecht repräsentiert werden. Zum anderen könnten wir uns Modifikationsindizes ausgeben lassen (Welche Parameter könnten/sollten zusätzlich geschätzt werden, um den Fit zu verbessern?). Zu befürchten ist, dass alle Massnahmen, die einen besseren Model-Fit ermöglichen würden (d.h. zusätzliche geschätzte Parameter) nicht mit unserer Idee/Hypothese einer einfachstrukturierten Big-5-Faktorstruktur ohne Residualkovarianzen vereinbar wäre. Unter Umständen könnten aber sehr wenige und ggf. gut interpretierbare Querladungen und/oder Residualkovarianzen für einen akzeptablen Fit sorgen. Schauen Sie es sich an!
Wie sind die (standardisierten) Faktorladungen zu beurteilen?
Bis auf wenige Ausnahmen sind die Faktorladungen als substantiell zu beurteilen (Betrag ca. >= 0.5). Auffällig ist, dass zwei der fünf Faktoren über das Muster von positiven und negativen Faktorladungen in inhaltlich entgegengesetzter Richtung zu interpretieren sind: Agreeableness und Extraversion. Das spielt eine wichtige Rolle für die Interpretation ihrer Kovarianzen/Korrelationen mit den anderen Faktoren (s.u.). Der Grund dafür liegt in der Festlegung jeweils eines inhaltlich entgegengesetzt formulierten Items als Ankeritem mit der (positiven) Ladung 1. Die inhaltlich “richtig” formulierten Items erhalten dadurch negative Ladungen.
Welche Korrelationen weisen die Persönlichkeitsfaktoren auf?
Alle Kovarianzen sind signifikant \((p < .001)\). Die standardisierten Kovarianzen sind die Korrelationen, diese variieren vom Betrag her zwischen 0.112 und 0.683. Wichtig ist, dass die Korrelationen von Agreeableness und Extraversion mit den anderen drei Faktoren in die andere Richtung interpretiert bzw. die Faktoren als Unfriendlyness (Unfreundlichkeit) und Introversion interpretiert werden müssen.
Aufgabe 2
Finden Sie folgende Werte mithilfe der Darstellung und der Ausgabe des Modells aus Aufgabe 1.
- Wie viele Informationen enthält die Varianz-Kovarianz Matrix der manifesten Variablen (\(n_{info}\))?
Informationen (wobei p = Anzahl manifester Variablen)
\(\begin{aligned} n_{info} &= \frac{p*(p+1)}{2} \\ &= \frac{25*(25+1)}{2} \\ &= \frac{650}{2}\\ &= 325 \end{aligned}\)
- Wie viele Freiheitsgrade hat das Modell?
Die Freiheitsgrade lassen sich berechnen als: \[df = n_{info}-n_{parameter}\]
Also die Anzahl Informationen minus die Anzahl der zu schätzender Parameter. Je nach Darstellung kann man die Anzahl der zu schätzender Parameter auch abzählen, in dem man jeden (nicht gestrichelten) Pfeil zählt.
Varianzen der latenten Variablen: 5
Kovarianzen der latenten Variablen. Auch dafür gibt es eine Formel (für den Fall dass alle Kovarianzen frei geschätzt werden), sie ist sogar ziemlich ähnlich wie die von \(n_{info}\), wobei \(n_{lv}\) jetzt für die Anzahl latenter Variablen steht:
\(\begin{aligned} n_{cov\ latent \ variables} &= \frac{n_{lv}*(n_{lv}-1)}{2} \\ &= \frac{5*(5-1)}{2} \\ &= \frac{20}{2}\\ &= 10 \end{aligned}\)
Beachte, dass das \(p+1\) aus der Formel oben hier zu einem \(p-1\) geworden ist! Wichtig: Diese Formel stimmt nur, wenn alle Kovarianzen der latenten Variablen frei geschätzt werden (was normalerweise der Fall ist).
Varianzen der Residuen der manifesten Variablen: 25
Zu schätzende Faktorladungen:
\(\begin{aligned} n_{zu\ schätzende\ Ladungen} &= n_{Ladungen} - n_{fixierte\ Ladungen} \\ &= 25 - 5\\ &= 20 \end{aligned}\)
Wir haben also insgesamt zu schätzende Parameter:
\(n_{parameter} = 5 + 10 + 25 + 20 = 60\)
Und damit hat das Modell folgende Freiheitsgrade:
\(df = n_{info} - n_{parameter} = 325 - 60 = 265\)
Das entspricht auch dem Modelloutput:
fit_bfi_5F@test$standard$df # degrees of freedom direkt aus dem Modell[1] 265Aufgabe 3
- Schätzen Sie nun dasselbe Modell, diesmal aber ohne Kovarianzen zwischen den latenten Variablen (also so, als ob wir orthogonale Faktoren erwarten würden).
Modell definieren:
bfi_5F_noCV <- "
# Latente Faktoren bleiben:
Agreeableness =~ A1 + A2 + A3 + A4 + A5
Conscientiousness =~ C1 + C2 + C3 + C4 + C5
Extraversion =~ E1 + E2 + E3 + E4 + E5
Neuroticism =~ N1 + N2 + N3 + N4 + N5
Openness =~ O1 + O2 + O3 + O4 + O5
# Kovarianzen fixieren (wir haben 10 Kovarianzen)
Agreeableness ~~ 0 * Conscientiousness
Agreeableness ~~ 0 * Extraversion
Agreeableness ~~ 0 * Neuroticism
Agreeableness ~~ 0 * Openness
Conscientiousness ~~ 0 * Extraversion
Conscientiousness ~~ 0 * Neuroticism
Conscientiousness ~~ 0 * Openness
Extraversion ~~ 0 * Neuroticism
Extraversion ~~ 0 * Openness
Neuroticism ~~ 0 * Openness
"Modell fitten:
fit_bfi_5F_noCV <- cfa(bfi_5F_noCV,
data = bfi
)Modell darstellen & ausgeben:
semPaths(fit_bfi_5F_noCV, "std") # Darstellen
summary(fit_bfi_5F_noCV) # Ausgebenlavaan 0.6.17 ended normally after 53 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 50
Used Total
Number of observations 2436 2800
Model Test User Model:
Test statistic 5639.709
Degrees of freedom 275
P-value (Chi-square) 0.000
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
Agreeableness =~
A1 1.000
A2 -1.468 0.092 -15.885 0.000
A3 -1.887 0.116 -16.273 0.000
A4 -1.394 0.097 -14.400 0.000
A5 -1.502 0.096 -15.658 0.000
Conscientiousness =~
C1 1.000
C2 1.172 0.057 20.409 0.000
C3 1.047 0.054 19.347 0.000
C4 -1.377 0.064 -21.526 0.000
C5 -1.403 0.070 -20.029 0.000
Extraversion =~
E1 1.000
E2 1.205 0.048 25.012 0.000
E3 -0.785 0.036 -21.573 0.000
E4 -1.034 0.042 -24.402 0.000
E5 -0.713 0.035 -20.195 0.000
Neuroticism =~
N1 1.000
N2 0.947 0.024 40.245 0.000
N3 0.873 0.024 35.898 0.000
N4 0.665 0.025 26.891 0.000
N5 0.616 0.026 23.814 0.000
Openness =~
O1 1.000
O2 -1.165 0.077 -15.042 0.000
O3 1.248 0.074 16.878 0.000
O4 0.551 0.052 10.515 0.000
O5 -1.106 0.069 -15.970 0.000
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
Agreeableness ~~
Conscientisnss 0.000
Extraversion 0.000
Neuroticism 0.000
Openness 0.000
Conscientiousness ~~
Extraversion 0.000
Neuroticism 0.000
Openness 0.000
Extraversion ~~
Neuroticism 0.000
Openness 0.000
Neuroticism ~~
Openness 0.000
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.A1 1.691 0.051 33.160 0.000
.A2 0.770 0.030 26.076 0.000
.A3 0.694 0.036 19.186 0.000
.A4 1.645 0.052 31.366 0.000
.A5 0.965 0.035 27.652 0.000
.C1 1.048 0.036 29.420 0.000
.C2 1.084 0.039 27.560 0.000
.C3 1.143 0.039 29.393 0.000
.C4 0.990 0.042 23.804 0.000
.C5 1.726 0.061 28.320 0.000
.E1 1.682 0.058 29.081 0.000
.E2 1.182 0.052 22.716 0.000
.E3 1.224 0.041 30.002 0.000
.E4 1.106 0.044 25.256 0.000
.E5 1.306 0.042 31.131 0.000
.N1 0.766 0.037 20.793 0.000
.N2 0.812 0.036 22.814 0.000
.N3 1.234 0.043 28.397 0.000
.N4 1.703 0.053 32.241 0.000
.N5 1.982 0.060 32.950 0.000
.O1 0.881 0.034 26.289 0.000
.O2 1.884 0.064 29.555 0.000
.O3 0.849 0.040 21.122 0.000
.O4 1.305 0.039 33.218 0.000
.O5 1.278 0.046 27.702 0.000
Agreeableness 0.288 0.033 8.601 0.000
Conscientisnss 0.477 0.037 12.866 0.000
Extraversion 0.978 0.067 14.564 0.000
Neuroticism 1.716 0.074 23.242 0.000
Openness 0.388 0.034 11.331 0.000- Dürfen Sie die beiden Modelle mit einem \(\chi^2\)-Test vergleichen? Was ist die Voraussetzung dafür?
Ja, die Modelle lassen sich vergleichen, weil das Modell ohne Kovarianzen eine restringierte Version des Modells mit Kovarianzen ist. Es werden lediglich ein paar Parameter auf Null gesetzt. Das Modell fit_bfi_5F_noCV ist somit genestet in dem Modell fit_bfi_5F. Diese Nestung ist genau die Voraussetzung, um verschiedene Modelle mit einem \(\chi^2\)-Test zu vergleichen.
- Welches Modell passt besser auf die Daten?
anova(fit_bfi_5F_noCV, fit_bfi_5F)
Chi-Squared Difference Test
Df AIC BIC Chisq Chisq diff RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
fit_bfi_5F 265 199800 200148 4165.5
fit_bfi_5F_noCV 275 201255 201545 5639.7 1474.2 0.24517 10 < 2.2e-16
fit_bfi_5F
fit_bfi_5F_noCV ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Wir sehen hier, dass das Modell ohne Kovarianzen einen viel grösseren \(\chi^2\)-Wert hat. Dieser Unterschied ist signifikant. Das bedeutet, dass das Modell mit mehr Parameter signifikant besser auf die Daten passt, als das Modell mit weniger Parameter (ohne Kovarianzen).
Das ist nicht verwunderlich, wenn wir berücksichtigen, dass im Modell mit Kovarianzen alle Kovarianzen der latenten Variablen signifikant waren (der Modellvergleich ist äquivalent zu einem simultanen Signifikanztest für alle 10 Kovarianzparameter).