7 Strukturgleichungsmodelle (SEM)
7.1 Einführung
In dieser Übung soll vermittelt werden, wie mit lavaan Strukturgleichungsmodelle (SEM) definiert und berechnet werden können. SEM stellen eine Kombination aus CFA und Regressionsmodellen dar und ermöglichen es, komplexe Regressionsstrukturen (Pfadmodelle) auf der Ebene latenter Variablen zu modellieren. Dabei können auch indirekte Effekte (Mediationsmodelle) geschätzt werden. Die Schätztheorie unterscheidet sich nicht von derjenigen der CFA.
Mit einem Strukturgleichungsmodell wollen wir die Effekte der durch Jugendliche erlebten emotionalen Unterstützung durch Eltern und Freunde auf deren Lebenszufriedenheit untersuchen. Dabei sollen die beiden Selbstwirksamkeits-Komponenten “Akademische Selbstwirksamkeit” und “Soziale Selbstwirksamkeit” als Mediatoren dienen. Es sollen sowohl direkte als auch indirekte Effekte untersucht werden.
Inhaltliche Annahmen: Sowohl elterliche Unterstützung als auch Unterstützung durch Freunde haben einen positiven Effekt auf die Lebenszufriedenheit. Ausserdem ist aus der Selbstwirksamkeitsforschung bekannt, dass sich erfahrene Unterstützung positiv auf das Selbstwirksamkeitserleben auswirkt, und dass dieses wiederum mit Lebenszufriedenheit im Zusammenhang steht. Eine wichtige Frage ist jedoch, welche differentiellen Effekte sich zeigen, wenn man die Unterstützung aus zwei wichtigen sozialen Kontexten (Eltern und Freunde) und die beiden Selbstwirksamkeitsdomänen “akademisch” und “sozial” gleichzeitig betrachtet.
Zu dem postulierten Strukturmodell (Beziehungen zwischen den latenten Variablen) benötigen wir ein Messmodell (Beziehungen zwischen den latenten Variablen und den manifesten Variablen, also die Faktorenstruktur). In diesem Beispiel wurden die Konstrukte durch folgende manifeste Variablen gemessen:
Emotionale Unterstützung durch Eltern: unt_eltern1, unt_eltern2
Emotionale Unterstützung durch Freunde: unt_freunde1, unt_freunde2
Akademische Selbstwirksamkeit: swk_akad1, swk_akad2, swk_akad3, swk_akad4, swk_akad5
Soziale Selbstwirksamkeit: swk_soz1, swk_soz2, swk_soz3, swk_soz4
Lebenszufriedenheit: leben1, leben2, leben3
Die angenommenen Effekte lassen sich in folgendem Strukturmodell zusammenfassen:
\(~\)
Wir werden die SEM-Analyse in drei Schritten vornehmen:
Zuerst wollen wir nur das Messmodell betrachten. Es handelt sich dabei um eine Multikonstrukt-CFA mit Interkorrelationen aller latenten Variablen.
Danach betrachten wir das gesamte Strukturgleichungsmodell (Messmodell und Strukturmodell zusammen).
Im letzten Schritt wollen wir zeigen, wie man innerhalb des Strukturgleichungsmodells explizit indirekte und totale Effekte definieren kann und wie man diese auf Signifikanz testet.
7.2 Packages laden und Datenimport
pacman::p_load(tidyverse, ggplot2, ggthemes, haven, lavaan, semPlot, wesanderson)data <- read_csv("https://raw.githubusercontent.com/methodenlehre/data/master/statIV_sem/sem-data.csv") |>
mutate(
westost = as.factor(westost),
geschlecht = as.factor(geschlecht)
)Wie in der Übung zur CFA entfernen wir alle Personen aus dem Datensatz, die auf mindestens einer Variablen einen Wert ausserhalb von +/- 3 SD vom Mittelwert aufweisen.
keep <- function(x) {
mx <- mean(x, na.rm = TRUE) # Wir speichern den Mittelwert der Variable
sd3 <- 3 * sd(x, na.rm = TRUE) # Hier speichern wir die Standardabweichung * 3
between(x, left = mx - sd3, right = mx + sd3)
}
data_clean <- data |>
filter(rowMeans(sapply(data |> select(-ID, -westost, -geschlecht, -alter), keep), na.rm = TRUE) == 1)7.3 Messmodell
Im Messmodell werden die Zusammenhänge der latenten Variablen (Faktoren) mit den manifesten Variablen definiert. Die lavaan-Modelldefinition kennen wir bereits von der CFA.
Fehlervarianzen der beobachteten Variablen und Varianzen der exogenen latenten Variablen müssen nicht eigens spezifiziert werden
Operator für das Messmodell:
=~(“wird gemessen durch…”)
\(~\)
model_measurement <- "
# Messmodell
UNT_Eltern =~ unt_eltern1 + unt_eltern2
UNT_Freunde =~ unt_freunde1 + unt_freunde2
SWK_Akademisch =~ swk_akad1 + swk_akad2 + swk_akad3 + swk_akad4 + swk_akad5
SWK_Sozial =~ swk_soz1 + swk_soz2 + swk_soz3 + swk_soz4
ZUFRIEDEN =~ leben1 + leben2 + leben3
"\(~\)
Eigenschaften des Messmodells
Wie viele und welche manifesten Variablen hat das Modell?
16 manifeste Variablen (2 für UNT_Eltern, 2 für UNT_Freunde, 5 für SWK_Akademisch, 4 für SWK_Sozial, 3 für ZUFRIEDEN)
Wie viele Informationen enthält die Varianz-Kovarianz-Matrix der manifesten Variablen?
\((16 \cdot 17) / 2 = 136\)
Wie viele und welche Parameter müssen geschätzt werden?
11 Faktorladungen (eine für jede manifeste Variable minus Anzahl latenter Variablen, da die erste Ladung jeweils auf 1 fixiert wird)
16 Residualvarianzen der manifesten Variablen
5 Varianzen der latenten Variablen
10 Kovarianzen der latenten Variablen
Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Modell?
\(df = 136 - (11 + 16 + 5 + 10) = 136 - 42 = 94\)
\(~\)
7.3.1 Modellschätzung
Die Funktion sem() wird auf das oben spezifizierte Modell model_measurement angewendet, die Ergebnisse werden in einem Objekt (hier mit dem beliebigen Namen fit_measurement) gespeichert. Man könnte hier auch cfa() verwenden. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur geringfügig in ihren Default-Einstellungen und sind beide gleichermassen für die Schätzung von Messmodellen geeignet.
fit_measurement <- sem(model_measurement,
data = data_clean
)
summary(fit_measurement,
fit.measures = TRUE,
standardized = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 62 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 42
Used Total
Number of observations 262 265
Model Test User Model:
Test statistic 288.018
Degrees of freedom 94
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 2247.066
Degrees of freedom 120
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.909
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.884
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4040.188
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3896.179
Akaike (AIC) 8164.376
Bayesian (BIC) 8314.247
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8181.088
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.089
90 Percent confidence interval - lower 0.077
90 Percent confidence interval - upper 0.101
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.895
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.061
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
UNT_Eltern =~
unt_eltern1 1.000 0.773 0.902
unt_eltern2 1.052 0.088 11.961 0.000 0.813 0.830
UNT_Freunde =~
unt_freunde1 1.000 0.756 0.759
unt_freunde2 1.081 0.146 7.405 0.000 0.817 1.004
SWK_Akademisch =~
swk_akad1 1.000 0.687 0.774
swk_akad2 0.779 0.070 11.118 0.000 0.535 0.689
swk_akad3 0.940 0.072 13.054 0.000 0.646 0.797
swk_akad4 0.871 0.072 12.032 0.000 0.599 0.740
swk_akad5 0.888 0.073 12.247 0.000 0.610 0.752
SWK_Sozial =~
swk_soz1 1.000 0.543 0.786
swk_soz2 1.146 0.088 13.070 0.000 0.623 0.794
swk_soz3 0.884 0.071 12.474 0.000 0.480 0.760
swk_soz4 1.094 0.093 11.766 0.000 0.594 0.722
ZUFRIEDEN =~
leben1 1.000 0.396 0.464
leben2 1.233 0.178 6.944 0.000 0.488 0.788
leben3 1.500 0.218 6.891 0.000 0.594 0.766
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
UNT_Eltern ~~
UNT_Freunde 0.098 0.041 2.364 0.018 0.167 0.167
SWK_Akademisch 0.229 0.042 5.403 0.000 0.431 0.431
SWK_Sozial 0.183 0.034 5.438 0.000 0.436 0.436
ZUFRIEDEN 0.207 0.038 5.501 0.000 0.677 0.677
UNT_Freunde ~~
SWK_Akademisch 0.050 0.035 1.418 0.156 0.096 0.096
SWK_Sozial 0.154 0.036 4.223 0.000 0.376 0.376
ZUFRIEDEN 0.092 0.028 3.320 0.001 0.307 0.307
SWK_Akademisch ~~
SWK_Sozial 0.243 0.035 6.981 0.000 0.651 0.651
ZUFRIEDEN 0.158 0.031 5.059 0.000 0.582 0.582
SWK_Sozial ~~
ZUFRIEDEN 0.147 0.027 5.390 0.000 0.682 0.682
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.unt_eltern1 0.136 0.043 3.170 0.002 0.136 0.186
.unt_eltern2 0.300 0.053 5.685 0.000 0.300 0.312
.unt_freunde1 0.420 0.080 5.260 0.000 0.420 0.424
.unt_freunde2 -0.005 0.083 -0.059 0.953 -0.005 -0.007
.swk_akad1 0.316 0.035 9.090 0.000 0.316 0.401
.swk_akad2 0.317 0.032 10.032 0.000 0.317 0.525
.swk_akad3 0.239 0.028 8.696 0.000 0.239 0.364
.swk_akad4 0.296 0.031 9.546 0.000 0.296 0.452
.swk_akad5 0.286 0.030 9.402 0.000 0.286 0.435
.swk_soz1 0.183 0.021 8.721 0.000 0.183 0.382
.swk_soz2 0.228 0.027 8.578 0.000 0.228 0.370
.swk_soz3 0.168 0.018 9.145 0.000 0.168 0.422
.swk_soz4 0.325 0.034 9.630 0.000 0.325 0.479
.leben1 0.572 0.053 10.793 0.000 0.572 0.785
.leben2 0.146 0.020 7.281 0.000 0.146 0.379
.leben3 0.249 0.032 7.858 0.000 0.249 0.414
UNT_Eltern 0.597 0.075 7.930 0.000 1.000 1.000
UNT_Freunde 0.571 0.106 5.399 0.000 1.000 1.000
SWK_Akademisch 0.472 0.066 7.100 0.000 1.000 1.000
SWK_Sozial 0.295 0.041 7.219 0.000 1.000 1.000
ZUFRIEDEN 0.157 0.043 3.630 0.000 1.000 1.0007.3.2 Darstellung als Pfaddiagramm
Hier soll auch gezeigt werden, wie mit semPaths() aus dem Package semTools Pfaddiagramme aus den gefitteten lavaan-Objekten generiert werden können. Wir lassen uns das Modell mit den standardisierten Parameter Estimates mit layout = 'spring' darstellen.
# Wir können schon jetzt die Farben für semPaths definieren, nämlich als Liste
# mit den Farb-Parametern für manifeste (man) und latente (lat) Variablen.
cols <- wes_palette(
name = "Moonrise2",
n = 4,
type = "discrete"
)
colorlist <- list(
man = cols[2],
lat = cols[3]
)
semPaths(fit_measurement,
what = "col", # Gleichmässige Pfade
whatLabels = "std", # Standardisierte Werte
style = "mx",
color = colorlist,
rotation = 1,
layout = "tree", # Layout der Darstellung
nCharNodes = 7, # Anzahl Buchstaben pro Variable (Abkürzung)
shapeMan = "rectangle", # Form der manifesten Variable
sizeMan = 8, # Breite der manifesten Variablen
sizeMan2 = 5
) # Höhe der manifesten Variablen
7.3.3 Modell-Fit
Wie aus dem summary()-Output und der graphischen Darstellung ersichtlich, sind die standardisierten Ladungen der Parcels auf den Faktoren alle relativ hoch und auch homogen. Die Faktor-Korrelationen dieses Multikonstrukt-Messmodells liegen zwischen \(r = 0.096\) (UNT_Freunde \(\leftrightarrow\) SWK_Akademisch) und \(r = 0.682\) (SWK_Sozial \(\leftrightarrow\) ZUFRIEDEN).
Die globale Modellpassung ist mit CFI = 0.909, NNFI/TLI = 0.884, RMSEA = 0.089 (90 %-CI: [0.077; 0.101]) nicht wirklich gut, kann aber nach den gängigen Kriterien als gerade noch akzeptabel bezeichnet werden.
Um festzustellen, wo Probleme in der Modellpassung bestehen, können wir zum einen die standardisierte Residual-Varianz-Kovarianz-Matrix betrachten:
resid(fit_measurement,
type = "standardized"
)$cov unt_l1 unt_l2 unt_f1 unt_f2 swk_k1 swk_k2 swk_k3 swk_k4 swk_k5
unt_eltern1 0.000
unt_eltern2 0.000 0.000
unt_freunde1 -0.474 -0.709 0.000
unt_freunde2 0.057 -0.089 0.000 0.000
swk_akad1 -1.768 -2.728 0.460 -1.627 0.000
swk_akad2 1.293 1.301 1.802 0.446 -0.586 0.000
swk_akad3 1.350 -0.127 0.585 -0.009 1.178 -0.594 0.000
swk_akad4 -0.255 -0.690 2.783 0.838 -0.155 -0.807 1.672 0.000
swk_akad5 0.814 0.468 -0.140 0.576 0.075 2.525 -1.125 -3.025 0.000
swk_soz1 0.527 -0.737 1.612 0.100 -0.188 0.667 0.177 3.558 2.190
swk_soz2 1.531 1.755 0.521 0.056 -0.339 -2.528 -1.886 3.789 1.447
swk_soz3 -1.629 -0.105 2.205 2.661 -1.131 -3.023 -1.318 -0.172 -1.587
swk_soz4 -1.195 -0.462 -2.385 -3.193 1.279 -1.954 -1.731 1.369 0.714
leben1 -0.717 -1.193 -1.280 0.972 -2.441 -1.455 -2.085 -2.858 -1.060
leben2 -5.017 -4.083 3.097 3.955 -0.934 0.926 -0.118 -1.326 1.309
leben3 4.735 4.796 -1.702 -4.460 -0.506 3.922 -0.162 0.350 1.800
swk_s1 swk_s2 swk_s3 swk_s4 leben1 leben2 leben3
unt_eltern1
unt_eltern2
unt_freunde1
unt_freunde2
swk_akad1
swk_akad2
swk_akad3
swk_akad4
swk_akad5
swk_soz1 0.000
swk_soz2 0.028 0.000
swk_soz3 -1.839 -0.046 0.000
swk_soz4 -1.251 0.017 2.790 0.000
leben1 1.733 0.979 2.644 2.321 0.000
leben2 2.835 1.249 2.497 1.516 0.836 0.000
leben3 -0.539 -2.619 -5.345 -2.875 -0.875 -0.021 0.000Hier zeigt sich, dass die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianz-Matrix an vielen Stellen des Modells signifikant von der empirischen Varianz-Kovarianz-Matrix abweicht. Eine Häufung sehr hoher standardisierter Residual-Kovarianzen zeigt sich z.B. bezüglich des Parcels leben3.
Eine weitere Möglichkeit zur lokalen Fit-Diagnostik bieten die Modell-Modifikationsindizes. Diese zeigen an, bei welchen zusätzlichen zu schätzenden Modellparametern sich eine deutliche Fit-Verbesserung ergeben würde (im Sinne einer Reduktion von \(\chi^2\) um den Wert des entsprechenden MI). Wir lassen uns hier nur die MI \(\geq 5\) ausgeben, da üblicherweise nur solche als substantiell angesehen werden.
modindices(fit_measurement,
standardized = FALSE,
minimum.value = 5
) lhs op rhs mi epc
50 UNT_Eltern =~ swk_akad1 6.363 -0.159
60 UNT_Eltern =~ leben2 31.249 -0.454
61 UNT_Eltern =~ leben3 39.880 0.628
71 UNT_Freunde =~ swk_soz3 7.365 0.114
72 UNT_Freunde =~ swk_soz4 9.594 -0.175
74 UNT_Freunde =~ leben2 16.164 0.190
75 UNT_Freunde =~ leben3 21.393 -0.268
80 SWK_Akademisch =~ swk_soz1 5.215 0.166
82 SWK_Akademisch =~ swk_soz3 7.140 -0.180
84 SWK_Akademisch =~ leben1 6.835 -0.268
94 SWK_Sozial =~ swk_akad4 10.514 0.351
97 SWK_Sozial =~ leben2 21.031 0.556
98 SWK_Sozial =~ leben3 36.446 -0.895
145 unt_freunde1 ~~ swk_akad4 8.497 0.069
146 unt_freunde1 ~~ swk_akad5 6.802 -0.061
151 unt_freunde1 ~~ leben1 9.867 -0.097
165 unt_freunde2 ~~ leben3 5.650 -0.046
173 swk_akad1 ~~ swk_soz4 6.213 0.059
179 swk_akad2 ~~ swk_akad5 7.603 0.064
181 swk_akad2 ~~ swk_soz2 6.587 -0.051
186 swk_akad2 ~~ leben3 16.436 0.086
196 swk_akad4 ~~ swk_akad5 7.637 -0.065
198 swk_akad4 ~~ swk_soz2 13.384 0.072
222 swk_soz3 ~~ swk_soz4 9.801 0.060
223 swk_soz3 ~~ leben1 7.223 0.058
224 swk_soz3 ~~ leben2 6.919 0.034
225 swk_soz3 ~~ leben3 23.662 -0.079\(~\)
Es werden insgesamt 24 Modifikationsindizes ausgegeben. Sie beziehen sich entweder auf mögliche Querladungen (z.B. UNT_Eltern =~ leben3: MI = 39.880) oder auf Residualkovarianzen zwischen manifesten Variablen (z.B. unt_freunde1 ~~ swk_akad4: MI = 8.497). Im Sinne unseres theoretischen Modells (bestimmte inhaltlich definierte Items messen bestimmte latente Konstrukte) ist die Hinzufügung von Querladungen und Residualkovarianzen nicht sinnvoll.
Solche Model-Fit-Probleme ergeben sich nicht selten bei Self-Report-Studien. Beim Antworten auf Likert-Skalen bestehen oft individuelle Unterschiede in der Skalennutzung (sog. Antwortstile oder Response Styles). Diese können zu generell erhöhten Korrelationen der Variablen untereinander führen, die ggf. in einem Multikonstrukt-Messmodell keine angemessene Berücksichtigung finden können. Es gibt hierzu Lösungsansätze (Definition von Methoden- und Response-Style-Faktoren), die wir hier aber nicht weiter vertiefen.
Ein weiterer Grund für die Model-Fit Probleme in dieser Studie könnte die allgemeine Ähnlichkeit der untersuchten Konstrukte in Bezug auf die dort erfragten Lebensbereiche sein. Beispielsweise enthalten die Lebenszufriedenheits-Items solche zum Bereich “Freunde”, der Freunde-Kontext spielt aber auch bei den Items zur sozialen Selbstwirksamkeit und natürlich beim denen zur Unterstützung durch Freunde eine grosse Rolle.
Da der Model-Fit noch akzeptabel ist, arbeiten wir mit diesem Messmodell weiter und wollen im nächsten Schritt die unseren inhaltlichen Hypothesen entsprechenden Effekte zwischen den latenten Variablen modellieren (Strukturmodell).
7.4 Gesamtmodell
7.4.1 Modelldefinition
Zusätzlich zum Messmodell wird im Gesamtmodell auch das Strukturmodell definiert. Das Strukturmodell repräsentiert die Zusammenhänge/Effekte zwischen den latenten Variablen.
model <- "
# Messmodell
UNT_Eltern =~ unt_eltern1 + unt_eltern2
UNT_Freunde =~ unt_freunde1 + unt_freunde2
SWK_Akademisch =~ swk_akad1 + swk_akad2 + swk_akad3 + swk_akad4 + swk_akad5
SWK_Sozial =~ swk_soz1 + swk_soz2 + swk_soz3 + swk_soz4
ZUFRIEDEN =~ leben1 + leben2 + leben3
# Strukturmodell
# Regressionsgleichungen
SWK_Akademisch ~ UNT_Eltern + UNT_Freunde
SWK_Sozial ~ UNT_Eltern + UNT_Freunde
ZUFRIEDEN ~ SWK_Akademisch + SWK_Sozial + UNT_Eltern + UNT_Freunde
# Residual-Kovarianzen
SWK_Akademisch ~~ SWK_Sozial
"Operator für das Strukturmodell (Regressionen latenter Variablen):
~(“wird vorhergesagt durch…”)Operator für (Residual-)Varianzen und Kovarianzen:
~~(bei Varianzen steht links und rechts dieselbe Variable, bei Kovarianzen unterschiedliche). Wie schon im Messmodell (CFA) müssen Varianzen und Kovarianzen exogener latenter Variablen nicht angegeben werden (werden automatisch geschätzt). Auch die Residualvarianzen endogener latenter Variablen werden automatisch geschätzt.
Wir müssen daher nur einen Parameter mit ~~ spezifizieren: In diesem Modell haben wir zwei parallele latente Mediatorvariablen (SWK_Akademisch und SWK_Sozial), die keinerlei Effekte aufeinander haben. Es ist aber anzunehmen, dass diese beiden Variablen kovariieren (vgl. auch die Korrelation von \(r=0.651\) im Messmodell oben), da neben den bereichsspezifischen Selbstwirksamkeiten auch eine übergeordnete allgemeine Selbstwirksamkeit angenommen werden kann (vgl. auch die CFA zur Lebenszufriedenheit). Da es sich bei SWK_Akademisch und SWK_Sozial um endogene latente Variablen handelt (beide werden sowohl von UNT_Eltern als auch von UNT_Freunde vorhergesagt), muss hier eine Residualkovarianz \(\psi =\) SWK_Akademisch ~~ SWK_Sozial spezifiziert werden.
Eigenschaften des Gesamtmodells
Wie viele und welche manifesten Variablen hat das Modell?
16 manifeste Variablen (2 für UNT_Eltern, 2 für UNT_Freunde, 5 für SWK_Akademisch, 4 für SWK_Sozial, 3 für ZUFRIEDEN)
Wie viele Informationen enthält die Varianz-Kovarianz-Matrix der manifesten Variablen?
\((16 \cdot 17) / 2 = 136\)
Wie viele und welche Parameter müssen geschätzt werden?
11 Faktorladungen (eine für jede manifeste Variable minus Anzahl latenter Variablen, da die erste Ladung jeweils auf 1 fixiert wird)
16 Residualvarianzen der manifesten Variablen
8 Strukturpfade
2 Varianzen der exogenen latenten Variablen
1 Kovarianz der beiden exogenen latenten Variablen
3 Residualvarianzen der endogenen latenten Variablen
1 Residualkovarianz der beiden endogenen latenten Variablen SWK_Akademisch und SWK_Sozial
Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Modell?
\(df = 136 - (11 + 16 + 8 + 2 + 1 + 3 + 1) = 136 - 42 = 94\)
\(~\)
7.4.2 Modellschätzung
fit <- sem(model,
data = data_clean
)
summary(fit,
fit.measures = TRUE,
standardized = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 53 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 42
Used Total
Number of observations 262 265
Model Test User Model:
Test statistic 288.018
Degrees of freedom 94
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 2247.066
Degrees of freedom 120
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.909
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.884
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4040.188
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3896.179
Akaike (AIC) 8164.376
Bayesian (BIC) 8314.247
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8181.088
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.089
90 Percent confidence interval - lower 0.077
90 Percent confidence interval - upper 0.101
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.895
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.061
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
UNT_Eltern =~
unt_eltern1 1.000 0.773 0.902
unt_eltern2 1.052 0.088 11.961 0.000 0.813 0.830
UNT_Freunde =~
unt_freunde1 1.000 0.756 0.759
unt_freunde2 1.081 0.146 7.405 0.000 0.817 1.004
SWK_Akademisch =~
swk_akad1 1.000 0.687 0.774
swk_akad2 0.779 0.070 11.118 0.000 0.535 0.689
swk_akad3 0.940 0.072 13.054 0.000 0.646 0.797
swk_akad4 0.871 0.072 12.032 0.000 0.599 0.740
swk_akad5 0.888 0.073 12.247 0.000 0.610 0.752
SWK_Sozial =~
swk_soz1 1.000 0.543 0.786
swk_soz2 1.146 0.088 13.070 0.000 0.623 0.794
swk_soz3 0.884 0.071 12.474 0.000 0.480 0.760
swk_soz4 1.094 0.093 11.766 0.000 0.594 0.722
ZUFRIEDEN =~
leben1 1.000 0.396 0.464
leben2 1.233 0.178 6.944 0.000 0.488 0.788
leben3 1.500 0.218 6.891 0.000 0.594 0.766
Regressions:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
SWK_Akademisch ~
UNT_Eltern 0.379 0.065 5.797 0.000 0.427 0.427
UNT_Freunde 0.022 0.057 0.395 0.693 0.025 0.025
SWK_Sozial ~
UNT_Eltern 0.270 0.049 5.502 0.000 0.384 0.384
UNT_Freunde 0.224 0.046 4.892 0.000 0.311 0.311
ZUFRIEDEN ~
SWK_Akademisch 0.085 0.051 1.671 0.095 0.147 0.147
SWK_Sozial 0.265 0.077 3.439 0.001 0.363 0.363
UNT_Eltern 0.226 0.046 4.934 0.000 0.441 0.441
UNT_Freunde 0.043 0.032 1.373 0.170 0.083 0.083
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.SWK_Akademisch ~~
.SWK_Sozial 0.170 0.027 6.265 0.000 0.598 0.598
UNT_Eltern ~~
UNT_Freunde 0.098 0.041 2.364 0.018 0.167 0.167
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.unt_eltern1 0.136 0.043 3.170 0.002 0.136 0.186
.unt_eltern2 0.300 0.053 5.685 0.000 0.300 0.312
.unt_freunde1 0.420 0.080 5.260 0.000 0.420 0.424
.unt_freunde2 -0.005 0.083 -0.059 0.953 -0.005 -0.007
.swk_akad1 0.316 0.035 9.090 0.000 0.316 0.401
.swk_akad2 0.317 0.032 10.032 0.000 0.317 0.525
.swk_akad3 0.239 0.028 8.696 0.000 0.239 0.364
.swk_akad4 0.296 0.031 9.546 0.000 0.296 0.452
.swk_akad5 0.286 0.030 9.402 0.000 0.286 0.435
.swk_soz1 0.183 0.021 8.721 0.000 0.183 0.382
.swk_soz2 0.228 0.027 8.578 0.000 0.228 0.370
.swk_soz3 0.168 0.018 9.145 0.000 0.168 0.422
.swk_soz4 0.325 0.034 9.630 0.000 0.325 0.479
.leben1 0.572 0.053 10.793 0.000 0.572 0.785
.leben2 0.146 0.020 7.281 0.000 0.146 0.379
.leben3 0.249 0.032 7.858 0.000 0.249 0.414
UNT_Eltern 0.597 0.075 7.930 0.000 1.000 1.000
UNT_Freunde 0.571 0.106 5.399 0.000 1.000 1.000
.SWK_Akademisch 0.384 0.056 6.879 0.000 0.814 0.814
.SWK_Sozial 0.211 0.031 6.827 0.000 0.715 0.715
.ZUFRIEDEN 0.054 0.017 3.220 0.001 0.343 0.3437.4.3 Modell-Fit
Der Model Fit ist genau gleich geblieben! Wir haben schon oben gesehen, dass wir im Gesamtmodell genauso viele Parameter und damit Freiheitsgrade haben wie im Messmodell.
Das bedeutet, dass das Strukturmodell saturiert ist!
Im Messmodell hatten wir 15 Varianz- und Kovarianzparameter der latenten Variablen, somit war die Varianz-Kovarianzmatrix der latenten Variablen (mit 5*6/2 = 15 Elementen) vollständig und unrestringiert. Im Strukturmodell haben wir nun auch 15 Parameter. Die Parameter des Strukturmodells sind zwar schätzbar und wir können somit unsere postulierten Effekte überprüfen, aber dieser Teil des Gesamtmodells ist gerade so identifiziert (weil in Bezug auf die latenten Variablen gilt: \(n_{Info} = n_{Par}\)) und trägt damit nichts zur Überprüfung des Model Fits des Gesamtmodells bei! Anders ausgedrückt: Wir können nicht überprüfen, ob das Strukturmodell gut auf unsere Daten passt, nur der Fit des Messmodells ist überprüfbar.
Interpretation der geschätzten Strukturkoeffizienten:
Von den 8 postulierten Strukturpfaden sind 5 signifikant und gehen in die erwartete Richtung. Nicht signifikant sind die Effekte von UNT_Freunde auf SWK_Akademisch (Std.all \(= 0.025,\ p = 0.693\)), von UNT_Freunde auf ZUFRIEDEN (Std.all \(= 0.083,\ p = 0.170\)) und von SWK_Akademisch auf ZUFRIEDEN (Std.all \(= 0.147,\ p = 0.095\)).
Besonders auffällig ist, dass die wahrgenommene Unterstützung durch die Eltern einen substantiellen direkten Effekt auf die Zufriedenheit hat, während der direkte Effekt der wahrgenommenen Unterstützung durch die Freunde nicht signifikant war. Zudem erstaunt, dass die soziale Selbstwirksamkeit einen direkten Einfluss auf die Zufriedenheit hat, aber dass die akademische Selbstwirksamkeit keinen signifikanten direkten Einfluss auf die Zufriedenheit hat.
7.4.4 Darstellung als Pfaddiagramm
Wir lassen uns das Modell jetzt auf zwei verschiedene Arten darstellen, einmal mit den unstandardisierten Parameter Estimates (whatLabels = "par") mit layout = 'tree2' und einmal mit den standardisierten Parameter Estimates (whatLabels = "std") mit layout = 'spring'.
semPaths(fit,
what = "col",
whatLabels = "par",
style = "mx",
color = colorlist,
rotation = 2,
layout = "tree2",
mar = c(1, 2, 1, 2),
nCharNodes = 7,
shapeMan = "rectangle",
sizeMan = 8,
sizeMan2 = 5
)
semPaths(fit,
what = "col",
whatLabels = "std",
style = "mx",
color = colorlist,
rotation = 1,
layout = "spring",
nCharNodes = 7,
shapeMan = "rectangle",
sizeMan = 8,
sizeMan2 = 5
)
\(~\)
Typische Aufgabe: Berechnung indirekter und totaler Effekte
Alle Berechnungen sollen mit den standardisierten Estimates (Std.all) durchgeführt werden!
Spezifische indirekte Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) SWK_Akademisch \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.427 \cdot 0.147 = 0.063\)
2. UNT_Eltern \(\rightarrow\) SWK_Sozial \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.384 \cdot 0.363 = 0.139\)
3. UNT_Freunde \(\rightarrow\) SWK_Akademisch \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.025 \cdot 0.147 = 0.004\)
4. UNT_Freunde \(\rightarrow\) SWK_Sozial \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.311 \cdot 0.363 = 0.113\)
\(~\)
Totale indirekte Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN über SWK_Akademisch und SWK_Sozial:
\(0.427 \cdot 0.147 + 0.384 \cdot 0.363 = 0.202\)
2. UNT_Freunde \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN über SWK_Akademisch und SWK_Sozial:
\(0.025 \cdot 0.147 + 0.311 \cdot 0.363 = 0.117\)
\(~\)
Totale Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.427 \cdot 0.147 + 0.384 \cdot 0.363 + 0.441 = 0.643\)
2. UNT_Freunde \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
\(0.025 \cdot 0.147 + 0.311 \cdot 0.363 + 0.083 = 0.200\)
Wir können indirekte und totale Effekte auch in lavaan schätzen lassen und dort dann auch Signifikanztests für diese erhalten. Das ist unser letzter Schritt in der Analyse des vorliegenden Strukturgleichungsmodells.
7.5 Testung indirekter und totaler Effekte
Sobald im Strukturmodell eine oder mehrere latente Mediatorvariablen (d.h. solche, die sowohl Prädiktor als auch Prädikand anderer latenter Variablen sind) vorhanden sind, handelt es sich um eine Mediationsanalyse. Um indirekte und totale Effekte zu schätzen, müssen die Parameter des Strukturmodells zuerst in der Modelldefinition benannt werden (Vormultiplikation mit b1, b2, b3 usw.)
Spezifische (und ggf. totale) indirekte Effekte können dann als Produkte (bzw. Summe der Produkte) der Pfadparameter definiert werden (Operator:
:=)Totale Effekte können gleichermassen als Summe von indirekten und direkten Effekten definiert werden.
Die Schätzung (und Testung) indirekter und totaler Effekte sollte mit der Option se = "bootstrap" durchgeführt werden, da ein Produkt zweier (oder mehrerer) Pfadkoeffizienten nicht wie die Pfadkoeffizienten selber approximativ normalverteilt ist.
model_mediation <- "
# Messmodell
UNT_Eltern =~ unt_eltern1 + unt_eltern2
UNT_Freunde =~ unt_freunde1 + unt_freunde2
SWK_Akademisch =~ swk_akad1 + swk_akad2 + swk_akad3 + swk_akad4 + swk_akad5
SWK_Sozial =~ swk_soz1 + swk_soz2 + swk_soz3 + swk_soz4
ZUFRIEDEN =~ leben1 + leben2 + leben3
# Strukturmodell
# regressions
SWK_Akademisch ~ b1 * UNT_Eltern + b3 * UNT_Freunde
SWK_Sozial ~ b2 * UNT_Eltern + b4 * UNT_Freunde
ZUFRIEDEN ~ b5 * UNT_Eltern + b6 * UNT_Freunde + b7 * SWK_Akademisch + b8 * SWK_Sozial
# residual covariances
SWK_Akademisch ~~ SWK_Sozial
# indirect effects
b1b7 := b1 * b7
b2b8 := b2 * b8
totalind_eltern := b1b7 + b2b8
b3b7 := b3 * b7
b4b8 := b4 * b8
totalind_freunde := b3b7 + b4b8
# total effects
total_eltern := totalind_eltern + b5
total_freunde := totalind_freunde + b6
"# Jetzt mit Bootstrap:
# Der iseed-Befehl ist nur für die Replizierbarkeit (vergleichbar mit set.seed())
fit_mediation <- sem(model_mediation,
data = data_clean,
se = "bootstrap",
iseed = 123
)
summary(fit_mediation,
fit.measures = TRUE,
standardized = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 53 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 42
Used Total
Number of observations 262 265
Model Test User Model:
Test statistic 288.018
Degrees of freedom 94
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 2247.066
Degrees of freedom 120
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.909
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.884
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4040.188
Loglikelihood unrestricted model (H1) -3896.179
Akaike (AIC) 8164.376
Bayesian (BIC) 8314.247
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8181.088
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.089
90 Percent confidence interval - lower 0.077
90 Percent confidence interval - upper 0.101
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.895
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.061
Parameter Estimates:
Standard errors Bootstrap
Number of requested bootstrap draws 1000
Number of successful bootstrap draws 1000
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
UNT_Eltern =~
unt_eltern1 1.000 0.773 0.902
unt_eltern2 1.052 0.103 10.234 0.000 0.813 0.830
UNT_Freunde =~
unt_freunde1 1.000 0.756 0.759
unt_freunde2 1.081 0.193 5.595 0.000 0.817 1.004
SWK_Akademisch =~
swk_akad1 1.000 0.687 0.774
swk_akad2 0.779 0.068 11.403 0.000 0.535 0.689
swk_akad3 0.940 0.064 14.618 0.000 0.646 0.797
swk_akad4 0.871 0.066 13.169 0.000 0.599 0.740
swk_akad5 0.888 0.070 12.749 0.000 0.610 0.752
SWK_Sozial =~
swk_soz1 1.000 0.543 0.786
swk_soz2 1.146 0.086 13.360 0.000 0.623 0.794
swk_soz3 0.884 0.076 11.574 0.000 0.480 0.760
swk_soz4 1.094 0.106 10.319 0.000 0.594 0.722
ZUFRIEDEN =~
leben1 1.000 0.396 0.464
leben2 1.233 0.262 4.709 0.000 0.488 0.788
leben3 1.500 0.351 4.274 0.000 0.594 0.766
Regressions:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
SWK_Akademisch ~
UNT_Eltrn (b1) 0.379 0.073 5.208 0.000 0.427 0.427
UNT_Frend (b3) 0.022 0.067 0.335 0.738 0.025 0.025
SWK_Sozial ~
UNT_Eltrn (b2) 0.270 0.054 4.979 0.000 0.384 0.384
UNT_Frend (b4) 0.224 0.046 4.823 0.000 0.311 0.311
ZUFRIEDEN ~
UNT_Eltrn (b5) 0.226 0.056 4.051 0.000 0.441 0.441
UNT_Frend (b6) 0.043 0.037 1.163 0.245 0.083 0.083
SWK_Akdms (b7) 0.085 0.055 1.530 0.126 0.147 0.147
SWK_Sozil (b8) 0.265 0.107 2.464 0.014 0.363 0.363
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.SWK_Akademisch ~~
.SWK_Sozial 0.170 0.028 6.015 0.000 0.598 0.598
UNT_Eltern ~~
UNT_Freunde 0.098 0.039 2.505 0.012 0.167 0.167
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.unt_eltern1 0.136 0.052 2.610 0.009 0.136 0.186
.unt_eltern2 0.300 0.062 4.844 0.000 0.300 0.312
.unt_freunde1 0.420 0.103 4.069 0.000 0.420 0.424
.unt_freunde2 -0.005 0.110 -0.044 0.965 -0.005 -0.007
.swk_akad1 0.316 0.042 7.484 0.000 0.316 0.401
.swk_akad2 0.317 0.037 8.504 0.000 0.317 0.525
.swk_akad3 0.239 0.028 8.434 0.000 0.239 0.364
.swk_akad4 0.296 0.033 8.918 0.000 0.296 0.452
.swk_akad5 0.286 0.033 8.789 0.000 0.286 0.435
.swk_soz1 0.183 0.030 6.028 0.000 0.183 0.382
.swk_soz2 0.228 0.035 6.539 0.000 0.228 0.370
.swk_soz3 0.168 0.018 9.210 0.000 0.168 0.422
.swk_soz4 0.325 0.039 8.364 0.000 0.325 0.479
.leben1 0.572 0.082 6.989 0.000 0.572 0.785
.leben2 0.146 0.032 4.551 0.000 0.146 0.379
.leben3 0.249 0.044 5.644 0.000 0.249 0.414
UNT_Eltern 0.597 0.080 7.467 0.000 1.000 1.000
UNT_Freunde 0.571 0.118 4.826 0.000 1.000 1.000
.SWK_Akademisch 0.384 0.052 7.437 0.000 0.814 0.814
.SWK_Sozial 0.211 0.029 7.242 0.000 0.715 0.715
.ZUFRIEDEN 0.054 0.019 2.843 0.004 0.343 0.343
Defined Parameters:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
b1b7 0.032 0.021 1.501 0.133 0.063 0.063
b2b8 0.072 0.032 2.266 0.023 0.140 0.140
totalind_eltrn 0.104 0.029 3.591 0.000 0.202 0.202
b3b7 0.002 0.007 0.285 0.776 0.004 0.004
b4b8 0.059 0.028 2.089 0.037 0.113 0.113
totalind_frend 0.061 0.030 2.051 0.040 0.117 0.117
total_eltern 0.330 0.066 4.961 0.000 0.643 0.643
total_freunde 0.104 0.047 2.239 0.025 0.199 0.199Anmerkung: Auch die Standardfehler der anderen Parameter wurden jetzt per Bootstrap geschätzt. Daher haben sich die p-Werte leicht verändert. An den Signifikanzentscheidungen ändert das aber nichts!
Welche der von Hand berechneten indirekten und totalen Effekte sind nun signifikant?
Spezifische indirekte Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) SWK_Akademisch \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser indirekte Effekt ist nicht signifikant, b1b7 = \(0.063, p = 0.133\).
2. UNT_Eltern \(\rightarrow\) SWK_Sozial \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser indirekte Effekt ist signifikant, b2b8 = \(0.14, p = 0.023\).
3. UNT_Freunde \(\rightarrow\) SWK_Akademisch \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser indirekte Effekt ist nicht signifikant, b3b7 = \(0.004, p = 0.776\).
4. UNT_Freunde \(\rightarrow\) SWK_Sozial \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser indirekte Effekt ist signifikant, b4b8 = \(0.113, p = 0.037\).
\(~\)
Totale indirekte Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN über SWK_Akademisch und SWK_Sozial:
Dieser totale indirekte Effekt ist signifikant, totalind_eltern = \(0.202, p < 0.001\).
2. UNT_Freunde \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN über SWK_Akademisch und SWK_Sozial:
Dieser totale indirekte Effekt ist signifikant, totalind_freunde = \(0.117, p = 0.04\).
\(~\)
Totale Effekte
1. UNT_Eltern \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser totale Effekt ist signifikant, total_eltern = \(0.643, p < 0.001\).
2. UNT_Freunde \(\rightarrow\) ZUFRIEDEN:
Dieser totale Effekt ist signifikant, total_freunde = \(0.199, p = 0.025\).
7.6 Zusammenfassung
Gerade noch akzeptabler Modell-Fit des Messmodells
Strukturmodell saturiert, Modellpassung nicht überprüfbar
Unterstützung durch Eltern am wichtigsten für die Lebenszufriedenheit Jugendlicher
- Totaler Effekt mehr als doppelt so gross im Vergleich zu Unterstützung durch Freunde
- Direkter Effekt am stärksten, aber auch indirekter Effekt über soziale Selbstwirksamkeit substantiell
Unterstützung durch Freunde hat nur indirekt über die soziale Selbstwirksamkeit einen Effekt auf die Lebenszufriedenheit
Akademische Selbstwirksamkeit unter Konstanthaltung der sozialen Selbstwirksamkeit irrelevant für Lebenszufriedenheit
Zusammenfassung der Effekte im Strukturmodell:
7.7 Übung
Diese Übung basiert auf Daten einer Befragung von \(n=300\) Jugendlichen.
Wir laden zuerst die benötigten Packages:
pacman::p_load(lavaan, tidyverse, semPlot)Jetzt können wir die Daten herunterladen.
# Daten einlesen
data <- read_csv("https://raw.githubusercontent.com/methodenlehre/data/master/statIV_sem/sem-uebung.csv")
# Info zu den Variablen einlesen
variableInfo <- read_csv("https://raw.githubusercontent.com/methodenlehre/data/master/statIV_sem/varDescriptions.csv")Die Jugendlichen haben folgende 14 Items jeweils auf einer Skala von 1-5 gerated:
# Variablennamen und Itemwortlaut
print(variableInfo[1:2], n = 14)# A tibble: 14 × 2
variable label
<chr> <chr>
1 optimistic_1 In uncertain times, I usually expect the best
2 optimistic_2 I believe in the idea that 'every cloud has a silver lining'
3 optimistic_3 I always look on the bright side of things
4 optimistic_4 I'm always optimistic about my future
5 peer_1 People my age spend their free time with me
6 peer_2 People my age often share secrets, stories etc. with me
7 peer_3 People my age are usually friendly to me
8 peer_4 People my age usually stick up for me
9 peer_5 People my age like to ask me to hang out with them
10 satisfaction_1 Satisfaction with friendships
11 satisfaction_2 Satisfaction with health
12 satisfaction_3 Satisfaction with school
13 satisfaction_4 Satisfaction with family
14 satisfaction_5 Satisfaction with life as a whole # Die Kodierung (Labels der Skalenwerte 1-5) der Items finden Sie in der 3. Spalte
# der Variableninfo (bei Bedarf anschauen mit variableInfo[3]).
# Bei Optimismus und Peer-Akzeptanz handelt es sich um Ablehnung - Zustimmung, bei
# Lebenszufriedenheit um Unzufrieden - Zufrieden.Aufgabe 1
In der Aufgabe geht es erst um ein Messmodell mit drei Faktoren, das alle Items beinhaltet. Nennen Sie die Faktoren peer (Peer-Akzeptanz), optimism (Optimismus) & lifesat (Lebenszufriedenheit). Zunächst ist nur das Messmodell von Interesse, d.h. es spielt noch keine Rolle, welche Effekte wir später (Aufgabe 2) zwischen den latenten Variablen erwarten.
- Fitten und visualisieren Sie das Modell.
Messmodell Definition
mess_modell <- "
optimism =~ optimistic_1 + optimistic_2 + optimistic_3 + optimistic_4
lifesat =~ satisfaction_1 + satisfaction_2 + satisfaction_3 +
satisfaction_4 + satisfaction_5
peer =~ peer_1 + peer_2 + peer_3 + peer_4 + peer_5
"Messmodell schätzen
mess_fit <- sem(mess_modell,
data = data
)Visualisierung des Messmodells
semPaths(mess_fit,
"col",
"std",
color = colorlist
)
- Berechnen Sie von Hand die Freiheitsgrade des Modells.
Freiheitsgrade des Messmodells
Die Freiheitsgrade lassen sich berechnen als: \[df = n_{info}-n_{parameter}\] \(n_{info}\) wird wie gewohnt mit folgender Formel berechnet:
\(\begin{aligned} n_{info} &= \frac{p \cdot (p+1)}{2} \\ &= \frac{14 \cdot (14+1)}{2} \\ &= \frac{210}{2}\\ &= 105 \end{aligned}\)
Wir schätzen folgende Parameter:
Varianzen der latenten Variablen: 3
Kovarianzen der latenten Variablen:
Einerseits in diesem Fall leicht abzuzählen, dass es zwischen 3 Variablen insgesamt 3 Kovarianzen gibt. Aber wir können es auch mit einer Formel berechnen:
\(\begin{aligned} n_{cov\ latent \ variables} &= \frac{n_{lv} \cdot (n_{lv}-1)}{2} \\ &= \frac{3 \cdot (3-1)}{2} \\ &= \frac{6}{2}\\ &= 3 \end{aligned}\)
Diese Formel stimmt nur, wenn alle Kovarianzen der latenten Variablen frei geschätzt werden (was normalerweise der Fall ist).
Varianzen der Residuen der manifesten Variablen: 14
Zu schätzende Faktorladungen:
\(\begin{aligned} n_{zu\ schätzende\ Ladungen} &= n_{Ladungen} - n_{fixierte\ Ladungen} \\ &= 14 - 3\\ &= 11 \end{aligned}\)
Wir haben also insgesamt zu schätzende Parameter:
\(n_{parameter} = 3 + 3 + 14 + 11 = 31\)
Und damit hat das Modell folgende Freiheitsgrade:
\(df = n_{info} - n_{parameter} = 105 - 31 = 74\)
Das erhalten wir auch im Modelloutput:
summary(mess_fit,
fit.measures = TRUE,
std = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 39 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 31
Used Total
Number of observations 289 300
Model Test User Model:
Test statistic 148.526
Degrees of freedom 74
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1145.966
Degrees of freedom 91
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.929
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.913
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4388.515
Loglikelihood unrestricted model (H1) -4314.252
Akaike (AIC) 8839.031
Bayesian (BIC) 8952.690
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8854.384
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.059
90 Percent confidence interval - lower 0.045
90 Percent confidence interval - upper 0.073
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.136
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.005
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.059
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism =~
optimistic_1 1.000 0.384 0.449
optimistic_2 1.045 0.186 5.607 0.000 0.402 0.510
optimistic_3 1.664 0.260 6.397 0.000 0.640 0.693
optimistic_4 1.951 0.301 6.478 0.000 0.750 0.794
lifesat =~
satisfaction_1 1.000 0.458 0.574
satisfaction_2 1.013 0.141 7.205 0.000 0.464 0.571
satisfaction_3 0.647 0.143 4.538 0.000 0.296 0.319
satisfaction_4 0.967 0.134 7.205 0.000 0.443 0.571
satisfaction_5 1.389 0.166 8.371 0.000 0.636 0.808
peer =~
peer_1 1.000 0.585 0.699
peer_2 0.849 0.088 9.604 0.000 0.497 0.643
peer_3 0.613 0.070 8.777 0.000 0.359 0.582
peer_4 0.927 0.090 10.356 0.000 0.543 0.701
peer_5 1.089 0.094 11.551 0.000 0.637 0.816
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism ~~
lifesat 0.077 0.019 4.077 0.000 0.440 0.440
peer 0.072 0.020 3.584 0.000 0.320 0.320
lifesat ~~
peer 0.119 0.025 4.811 0.000 0.445 0.445
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.optimistic_1 0.585 0.053 11.106 0.000 0.585 0.798
.optimistic_2 0.460 0.043 10.730 0.000 0.460 0.740
.optimistic_3 0.442 0.054 8.211 0.000 0.442 0.519
.optimistic_4 0.331 0.059 5.626 0.000 0.331 0.370
.satisfaction_1 0.427 0.041 10.348 0.000 0.427 0.671
.satisfaction_2 0.445 0.043 10.377 0.000 0.445 0.674
.satisfaction_3 0.773 0.066 11.654 0.000 0.773 0.898
.satisfaction_4 0.406 0.039 10.376 0.000 0.406 0.674
.satisfaction_5 0.215 0.037 5.827 0.000 0.215 0.347
.peer_1 0.359 0.037 9.786 0.000 0.359 0.512
.peer_2 0.351 0.034 10.388 0.000 0.351 0.587
.peer_3 0.250 0.023 10.842 0.000 0.250 0.661
.peer_4 0.305 0.031 9.759 0.000 0.305 0.509
.peer_5 0.204 0.028 7.375 0.000 0.204 0.334
optimism 0.148 0.042 3.529 0.000 1.000 1.000
lifesat 0.210 0.045 4.707 0.000 1.000 1.000
peer 0.343 0.055 6.285 0.000 1.000 1.000- Wie ist der Model Fit des Modells aufgrund der uns bekannten globalen Fit-Indizes zu beurteilen?
Model Fit
Der Model Fit ist nach den inkrementellen Fit-Indizes CFI = 0.929 und TLI = 0.913 als akzeptabel zu beurteilen. Nach dem RMSEA = 0.059 (90% CI [0.045, 0.073]) ist der Fit als gut (nicht signifikant abweichend von 0.05) zu beurteilen.
- Berechnen Sie den RMR des Modells per Hand.
Berechnung des RMR von Hand
Im Output oben wird nur das Standardized Root Mean Square Residual (SRMR) ausgegeben. Dieses zeigt mit 0.059 einen guten Model-Fit an. Den unstandardisierten RMR erhalten wir mit fitmeasures():
fitmeasures(mess_fit) npar fmin chisq
31.000 0.257 148.526
df pvalue baseline.chisq
74.000 0.000 1145.966
baseline.df baseline.pvalue cfi
91.000 0.000 0.929
tli nnfi rfi
0.913 0.913 0.841
nfi pnfi ifi
0.870 0.708 0.930
rni logl unrestricted.logl
0.929 -4388.515 -4314.252
aic bic ntotal
8839.031 8952.690 289.000
bic2 rmsea rmsea.ci.lower
8854.384 0.059 0.045
rmsea.ci.upper rmsea.ci.level rmsea.pvalue
0.073 0.900 0.136
rmsea.close.h0 rmsea.notclose.pvalue rmsea.notclose.h0
0.050 0.005 0.080
rmr rmr_nomean srmr
0.039 0.039 0.059
srmr_bentler srmr_bentler_nomean crmr
0.059 0.059 0.063
crmr_nomean srmr_mplus srmr_mplus_nomean
0.063 0.059 0.059
cn_05 cn_01 gfi
186.008 205.700 0.933
agfi pgfi mfi
0.905 0.657 0.879
ecvi
0.728 RMR = 0.039
Für die Berechnung per Hand benötigen wir zuerst die (unstandardisierte) Residual-Varianz-Kovarianz-Matrix:
lavInspect(mess_fit, what = "resid")$cov
optm_1 optm_2 optm_3 optm_4 stsf_1 stsf_2 stsf_3 stsf_4 stsf_5
optimistic_1 0.000
optimistic_2 0.031 0.000
optimistic_3 -0.026 -0.015 0.000
optimistic_4 -0.004 -0.005 0.013 0.000
satisfaction_1 0.032 -0.034 -0.032 -0.051 0.000
satisfaction_2 0.090 -0.016 -0.012 -0.016 0.013 0.000
satisfaction_3 0.108 0.037 0.068 0.082 -0.028 0.051 0.000
satisfaction_4 -0.001 -0.012 0.028 0.021 -0.030 -0.006 0.019 0.000
satisfaction_5 0.034 0.044 -0.010 -0.027 -0.002 -0.003 -0.008 0.011 0.000
peer_1 0.042 0.013 0.003 0.002 0.107 -0.011 -0.033 -0.011 0.031
peer_2 -0.034 0.055 0.029 -0.048 0.013 -0.055 -0.121 -0.034 -0.072
peer_3 -0.002 0.033 0.011 0.014 0.051 -0.030 -0.042 -0.028 0.039
peer_4 -0.020 0.015 0.081 0.031 0.084 0.003 -0.079 0.016 0.005
peer_5 -0.054 -0.025 -0.032 -0.019 0.083 -0.022 -0.116 -0.014 -0.014
peer_1 peer_2 peer_3 peer_4 peer_5
optimistic_1
optimistic_2
optimistic_3
optimistic_4
satisfaction_1
satisfaction_2
satisfaction_3
satisfaction_4
satisfaction_5
peer_1 0.000
peer_2 -0.009 0.000
peer_3 -0.027 0.012 0.000
peer_4 -0.044 0.002 0.058 0.000
peer_5 0.035 0.010 -0.028 -0.011 0.000Jetzt müssen alle Elemente quadriert und diese dann gemittelt werden, und anschliessend muss die Wurzel gezogen werden. Die Diagonalelemente (alle = 0) müssen in der Summe im Zähler natürlich nicht explizit berücksichtigt werden:
\(\begin{aligned} RMR &=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{i}\left(s_{i j}-\hat{\sigma}_{i j}\right)^{2}}{p \cdot(p+1) / 2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.031^2 + (-0.026)^2 + (-0.015)^2 + ... + 0.010^2 + (-0.028)^2 + (-0.011^2)}{105}}\\ &= 0.039 \end{aligned}\)
Mit so vielen Elementen in der Varianz-Kovarianz-Matrix ist das natürlich äusserst mühsam zu berechnen!
- Betrachten/interpretieren Sie das Muster der Faktorladungen sowie die geschätzten Kovarianzen/Korrelationen der latenten Variablen.
Interpretation der geschätzten Parameter (Fokus auf Faktorladungen und Kovarianzen/Korrelationen der latenten Variablen)
Die standardisierten Faktorladungen zeigen für die meisten Items relativ hohe Ladungen auf dem zugehörigen Faktor, einige Items laden aber eher niedrig: z.B. die Ladung von 0.449 des Items
optimistic_1(“In uncertain times, I usually expect the best”) auf dem Optimismus-Faktor und besonders die Ladung von 0.319 des Itemssatisfaction_3(“Satisfaction with school”) auf dem Lebenszufriedenheits-Faktor.Die Korrelationen der latenten Variablen sind substantiell und alle statistisch signifikant. Besonders interessant ist die Korrelation von 0.445 für
lifesat ~~ peer. Wir werden später sehen, dass diese genau dem (standardisierten) totalen Effekt der UVpeerauf die AVlifesatentspricht.
Aufgabe 2
Jetzt kommt das Strukturmodell dazu: Wir wollen wissen, ob es einen Effekt von Peer-Akzeptanz (Aussmass erfahrener Akzeptanz durch Gleichaltrige) auf Lebenszufriedenheit gibt, und ob dieser Effekt durch Optimismus (generelle positive Einstellung in Bezug auf die Zukunft) mediiert wird.
- Spezifizieren Sie ein Mediationsmodell mit folgenden Strukturpfaden: Der Faktor
peersoll einen Effekt aufoptimismund dieser wiederum einen Effekt auflifesathaben, zudem soll es einen direkten Effekt vonpeerauflifesatgeben.
Mediationsmodell definieren
mediations_modell <- "
# Messmodell
optimism =~ optimistic_1 + optimistic_2 + optimistic_3 + optimistic_4
lifesat =~ satisfaction_1 + satisfaction_2 + satisfaction_3 +
satisfaction_4 + satisfaction_5
peer =~ peer_1 + peer_2 + peer_3 + peer_4 + peer_5
# Strukturmodell
optimism ~ peer
lifesat ~ peer + optimism
"- Fitten Sie das Modell und betrachten Sie den Model Fit.
Mediationsmodell fitten und ausgeben
med_fit <- sem(mediations_modell,
data = data
)
summary(med_fit,
fit.measures = TRUE,
std = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 40 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 31
Used Total
Number of observations 289 300
Model Test User Model:
Test statistic 148.526
Degrees of freedom 74
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1145.966
Degrees of freedom 91
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.929
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.913
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4388.515
Loglikelihood unrestricted model (H1) -4314.252
Akaike (AIC) 8839.031
Bayesian (BIC) 8952.690
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8854.384
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.059
90 Percent confidence interval - lower 0.045
90 Percent confidence interval - upper 0.073
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.136
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.005
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.059
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism =~
optimistic_1 1.000 0.384 0.449
optimistic_2 1.045 0.186 5.607 0.000 0.402 0.510
optimistic_3 1.664 0.260 6.397 0.000 0.640 0.693
optimistic_4 1.951 0.301 6.478 0.000 0.750 0.794
lifesat =~
satisfaction_1 1.000 0.458 0.574
satisfaction_2 1.013 0.141 7.205 0.000 0.464 0.571
satisfaction_3 0.647 0.143 4.538 0.000 0.296 0.319
satisfaction_4 0.967 0.134 7.205 0.000 0.443 0.571
satisfaction_5 1.389 0.166 8.371 0.000 0.636 0.808
peer =~
peer_1 1.000 0.585 0.699
peer_2 0.849 0.088 9.604 0.000 0.497 0.643
peer_3 0.613 0.070 8.777 0.000 0.359 0.582
peer_4 0.927 0.090 10.356 0.000 0.543 0.701
peer_5 1.089 0.094 11.551 0.000 0.637 0.816
Regressions:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism ~
peer 0.210 0.056 3.749 0.000 0.320 0.320
lifesat ~
peer 0.265 0.063 4.184 0.000 0.338 0.338
optimism 0.395 0.109 3.615 0.000 0.331 0.331
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.optimistic_1 0.585 0.053 11.106 0.000 0.585 0.798
.optimistic_2 0.460 0.043 10.730 0.000 0.460 0.740
.optimistic_3 0.442 0.054 8.210 0.000 0.442 0.519
.optimistic_4 0.331 0.059 5.626 0.000 0.331 0.370
.satisfaction_1 0.427 0.041 10.348 0.000 0.427 0.671
.satisfaction_2 0.445 0.043 10.377 0.000 0.445 0.674
.satisfaction_3 0.773 0.066 11.654 0.000 0.773 0.898
.satisfaction_4 0.406 0.039 10.376 0.000 0.406 0.674
.satisfaction_5 0.215 0.037 5.827 0.000 0.215 0.347
.peer_1 0.359 0.037 9.786 0.000 0.359 0.512
.peer_2 0.351 0.034 10.388 0.000 0.351 0.587
.peer_3 0.250 0.023 10.842 0.000 0.250 0.661
.peer_4 0.305 0.031 9.759 0.000 0.305 0.509
.peer_5 0.204 0.028 7.375 0.000 0.204 0.334
.optimism 0.133 0.038 3.508 0.000 0.898 0.898
.lifesat 0.148 0.033 4.532 0.000 0.704 0.704
peer 0.343 0.055 6.285 0.000 1.000 1.000Model Fit
Genau wie im Vorlesungsbeispiel ist der Model Fit exakt gleich wie im Messmodell! Statt der 3 Varianzen und 3 Kovarianzen der latenten Variablen im Messmodell schätzen wir jetzt 3 Strukturpfade, 1 Varianz der exogenen latenten Variablen peer und 2 Residualvarianzen der endogenen latenten Variablen optimism und lifesat! In beiden Modellen werden also 6 Parameter auf Ebene der latenten Variablen geschätzt. Somit handelt es sich bei unserem Mediationsmodell um ein saturiertes Strukturmodell. Das bedeutet, dass sich der Model Fit nur auf den Messmodell-Teil des Modells bezieht (vgl. Vorlesungsbeispiel oben).
- Welche Pfade im
Strukturmodellsind signifikant? Welcher Pfad ist vom Betrag her am stärksten?
Strukturpfade
Alle Regressionsparameter wurden signifikant mit jeweils \(p < 0.001\). Der stärkste Pfad ist der (direkte) Effekt von peer auf lifesat, \(\beta_{peer->lifesat} = 0.3385\), die beiden anderen Effekte sind aber fast genauso gross.
- Berechnen Sie den geschätzten indirekten sowie den geschätzten totalen Effekt von
peerauflifesatzuerst von Hand. Überprüfen Sie anschliessend den Effekt, indem Sie ein neues Modell definieren, das diesen Effekt ausgibt.
Indirekter und Totaler Effekt
Zuerst von Hand, am besten mit Hilfe einer Visualisierung:
semPaths(med_fit,
"col",
"std",
color = colorlist
)
Wir berechnen die Effekte anhand der standardisierten Parameterschätzer. Für eine höhere Genauigkeit lassen wir uns die Effekte nochmal auf 4 Kommastellen gerundet ausgeben (sonst kommen wir nicht auf das gleiche Ergebnis wie unten im Modell mit definierten Parametern):
lavInspect(med_fit, "std")$beta optmsm lifest peer
optimism 0.000 0 0.320
lifesat 0.331 0 0.338
peer 0.000 0 0.000# Runden auf mehr als 3 Kommastellen funktioniert nur so:
as.vector(lavInspect(med_fit, "std")$beta) |> round(4)[1] 0.0000 0.3313 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3200 0.3385 0.0000Der indirekte Effekt ist definiert als das Produkt der beiden Strukturkoeffizienten von peer über optimism auf lifesat:
\[\begin{aligned} \beta_{indirekt} &= (0.32 * 0.3313)\\ &= 0.106016 \approx 0.106 \end{aligned}\]
Der totale Effekt ist definiert als der direkte Effekt plus der indirekte Effekt.
\[\begin{aligned} \beta_{total} &= \beta_{direkt} + \beta_{indirekt} \\ &= 0.3385 + (0.32 * 0.3313)\\ &= 0.3385 + 0.106016 \\ &= 0.444516 \approx 0.445 \end{aligned}\]
Und jetzt mit lavaan:
Zuerst müssen wir das Modell neu definieren:
effekt_modell <- "
# Messmodell
optimism =~ optimistic_1 + optimistic_2 + optimistic_3 + optimistic_4
lifesat =~ satisfaction_1 + satisfaction_2 + satisfaction_3 +
satisfaction_4 + satisfaction_5
peer =~ peer_1 + peer_2 + peer_3 + peer_4 + peer_5
# Strukturmodell
optimism ~ a * peer
lifesat ~ b * peer + c * optimism
# Effekte
indEff := a * c
totEff := indEff + b
"Jetzt können wir einfach das Modell schätzen und uns die Effekte ausgeben lassen. Beachten Sie, dass das Modell jetzt mit Bootstrap-Standardfehlern geschätzt werden muss:
eff_fit <- sem(effekt_modell,
data = data,
se = "bootstrap",
iseed = 123
)
summary(eff_fit,
fit.measures = TRUE,
std = TRUE
)lavaan 0.6.17 ended normally after 40 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 31
Used Total
Number of observations 289 300
Model Test User Model:
Test statistic 148.526
Degrees of freedom 74
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1145.966
Degrees of freedom 91
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.929
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.913
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -4388.515
Loglikelihood unrestricted model (H1) -4314.252
Akaike (AIC) 8839.031
Bayesian (BIC) 8952.690
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 8854.384
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.059
90 Percent confidence interval - lower 0.045
90 Percent confidence interval - upper 0.073
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.136
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.005
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.059
Parameter Estimates:
Standard errors Bootstrap
Number of requested bootstrap draws 1000
Number of successful bootstrap draws 1000
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism =~
optimistic_1 1.000 0.384 0.449
optimistic_2 1.045 0.240 4.359 0.000 0.402 0.510
optimistic_3 1.664 0.357 4.663 0.000 0.640 0.693
optimistic_4 1.951 0.408 4.779 0.000 0.750 0.794
lifesat =~
satisfaction_1 1.000 0.458 0.574
satisfaction_2 1.013 0.163 6.217 0.000 0.464 0.571
satisfaction_3 0.647 0.188 3.435 0.001 0.296 0.319
satisfaction_4 0.967 0.165 5.853 0.000 0.443 0.571
satisfaction_5 1.389 0.242 5.738 0.000 0.636 0.808
peer =~
peer_1 1.000 0.585 0.699
peer_2 0.849 0.110 7.713 0.000 0.497 0.643
peer_3 0.613 0.111 5.518 0.000 0.359 0.582
peer_4 0.927 0.133 6.994 0.000 0.543 0.701
peer_5 1.089 0.090 12.159 0.000 0.637 0.816
Regressions:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
optimism ~
peer (a) 0.210 0.065 3.225 0.001 0.320 0.320
lifesat ~
peer (b) 0.265 0.078 3.412 0.001 0.338 0.338
optimism (c) 0.395 0.115 3.437 0.001 0.331 0.331
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.optimistic_1 0.585 0.068 8.589 0.000 0.585 0.798
.optimistic_2 0.460 0.045 10.142 0.000 0.460 0.740
.optimistic_3 0.442 0.053 8.305 0.000 0.442 0.519
.optimistic_4 0.331 0.070 4.756 0.000 0.331 0.370
.satisfaction_1 0.427 0.057 7.460 0.000 0.427 0.671
.satisfaction_2 0.445 0.046 9.782 0.000 0.445 0.674
.satisfaction_3 0.773 0.076 10.223 0.000 0.773 0.898
.satisfaction_4 0.406 0.047 8.723 0.000 0.406 0.674
.satisfaction_5 0.215 0.040 5.416 0.000 0.215 0.347
.peer_1 0.359 0.070 5.146 0.000 0.359 0.512
.peer_2 0.351 0.042 8.366 0.000 0.351 0.587
.peer_3 0.250 0.029 8.608 0.000 0.250 0.661
.peer_4 0.305 0.044 6.905 0.000 0.305 0.509
.peer_5 0.204 0.035 5.862 0.000 0.204 0.334
.optimism 0.133 0.044 3.002 0.003 0.898 0.898
.lifesat 0.148 0.050 2.927 0.003 0.704 0.704
peer 0.343 0.076 4.532 0.000 1.000 1.000
Defined Parameters:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
indEff 0.083 0.030 2.752 0.006 0.106 0.106
totEff 0.348 0.082 4.259 0.000 0.445 0.445Beide Effekte entsprechen den von Hand gerechneten Effekten. Sowohl der indirekte Effekt als auch der totale Effekt wurde signifikant, totEff = \(0.445, p < 0.001\); indEff = \(0.106, p = 0.006\). Der signifikante indirekte Effekt bedeutet, dass eine Mediation gegeben ist. Da aber auch der direkte Effekt von peer auf lifesat signifikant ist, spricht man hier von einer partiellen Mediation, d.h. ein Teil des (totalen) Effekts von Peer-Akzeptanz auf Lebenszufriedenheit wird über Optimismus vermittelt. In normalem Deutsch könnte man das so formulieren:
“Jugendliche, die sich von ihren Peers akzeptiert fühlen, sind mit ihrem Leben zufriedener. Ein Teil dieser höheren Zufriedenheit kommt dadurch zustande (kann so erklärt werden), dass sich-akzeptiert-fühlende Jugendliche mit grösserem Optimismus in die Zukunft blicken und dieser Optimismus wiederum mit höherer Lebenszufriedenheit einhergeht.”
Aufgabe 3
Berechnen Sie den BIC des Mediationsmodells.
BIC
\[ BIC = \chi^2 + ln(n) \cdot t \]
Um den BIC zu berechnen benötigen wir also drei Werte:
- Den \(\chi^2\)-Wert des Modells (\(\chi^2 = 148.526\))
- Die Anzahl geschätzter Parameter (\(t = n_{par} = 31\))
- Die Anzahl Teilnehmer (\(n = 289\))
Diese Werte finden wir alle im Modelloutput oder direkt bei den fitmeasures des Modells. Der Grund für die kleinere Anzahl Teilnehmer (ntotal = 289) als die oben angegebenen \(n=300\) ist übrigens die automatische Entfernung von Fällen mit fehlenden Werten in lavaan.
fitmeasures(med_fit) npar fmin chisq
31.000 0.257 148.526
df pvalue baseline.chisq
74.000 0.000 1145.966
baseline.df baseline.pvalue cfi
91.000 0.000 0.929
tli nnfi rfi
0.913 0.913 0.841
nfi pnfi ifi
0.870 0.708 0.930
rni logl unrestricted.logl
0.929 -4388.515 -4314.252
aic bic ntotal
8839.031 8952.690 289.000
bic2 rmsea rmsea.ci.lower
8854.384 0.059 0.045
rmsea.ci.upper rmsea.ci.level rmsea.pvalue
0.073 0.900 0.136
rmsea.close.h0 rmsea.notclose.pvalue rmsea.notclose.h0
0.050 0.005 0.080
rmr rmr_nomean srmr
0.039 0.039 0.059
srmr_bentler srmr_bentler_nomean crmr
0.059 0.059 0.063
crmr_nomean srmr_mplus srmr_mplus_nomean
0.063 0.059 0.059
cn_05 cn_01 gfi
186.008 205.700 0.933
agfi pgfi mfi
0.905 0.657 0.879
ecvi
0.728 Das führt zu der Lösung:
\[\begin{aligned} BIC &= \chi^2 + ln(n) \cdot t \\ &= 148.526 + ln(289) \cdot 31 \\ &= 324.185 \end{aligned}\]
Wie wir schon aus dem Kapitel zur CFA wissen, unterscheidet sich der so berechnete BIC von dem von lavaan ausgegebenen (8952.690). Letzterer wird auf Basis der \(-2 \cdot ln(L)\) und nicht auf Basis von \(\chi^2\) berechnet. Das spielt aber keine Rolle, da der BIC zum Vergleich verschiedener Modelle dient (was wir hier nicht tun), und die Differenz der BICs verschiedener Modelle unabhängig von der Berechnungsmethode dieselbe ist.
Aufgabe 4
Lassen Sie sich die Modifikations-Indizes ausgeben (nur solche >= 5). Interpretieren Sie den Output.
modindices(med_fit, minimum.value = 5) lhs op rhs mi epc sepc.lv sepc.all sepc.nox
50 lifesat =~ peer_2 8.536 -0.319 -0.146 -0.189 -0.189
58 peer =~ satisfaction_1 14.737 0.356 0.209 0.261 0.261
60 peer =~ satisfaction_3 9.338 -0.353 -0.206 -0.223 -0.223
67 optimistic_1 ~~ satisfaction_2 5.910 0.079 0.079 0.155 0.155
82 optimistic_2 ~~ satisfaction_5 6.081 0.062 0.062 0.196 0.196
84 optimistic_2 ~~ peer_2 6.246 0.065 0.065 0.163 0.163
97 optimistic_3 ~~ peer_4 6.081 0.065 0.065 0.178 0.178
141 satisfaction_5 ~~ peer_3 7.304 0.050 0.050 0.214 0.214
146 peer_1 ~~ peer_4 9.474 -0.082 -0.082 -0.248 -0.248
147 peer_1 ~~ peer_5 15.499 0.112 0.112 0.414 0.414
151 peer_3 ~~ peer_4 18.874 0.087 0.087 0.313 0.313
152 peer_3 ~~ peer_5 10.126 -0.063 -0.063 -0.281 -0.281Alle Modifikationsindizes beziehen sich auf das Messmodell. Das Strukturmodell ist ja wie wir gesehen haben bereits saturiert, daher können dort keine zusätzlichen Parameter geschätzt werden. Grundsätzlich sollten im Messmodell keine zusätzlichen Parameter wie Querladungen und Residualkovarianzen manifester Variablen zugelassen werden, da diese gegen die Einfachstruktur-Hypothese der Messmodell-CFA sprechen. Allerdings können wir natürlich schauen, wo im Messmodell Fit-Probleme existieren, um das Modell besser zu verstehen.
Der höchste Modifikationsindex ist hier der für eine mögliche Residualkovarianz zwischen den Items peer_3 und peer_4 (mi = 18.874). Diese wäre positiv (epc = 0.087), d.h. diese beiden Items korrelieren stärker miteinander als es durch den gemeinsamen Faktor peer abgebildet werden kann.
Besonders gut interpretierbar ist zudem ein weiterer Modifikationsindex: eine mögliche Querladung des Items satisfaction_1 (“Satisfaction with friendships”) auf dem peer-Faktor. Wenn wir diese Querladung zulassen würden, würden wir eine (unstandardisierte) Ladung von 0.356 erhalten (epc = expected parameter change) und das \(\chi^2\) des Modells wäre um 14.737 Punkte niedriger. Diese Werte sind allerdings approximative Schätzungen, da für die Berechnung der Modifikationsindizes die verschiedenen Alternativmodelle (mit je einem zusätzlichen Parameter) nicht explizit geschätzt werden.
Zu Demonstrationszwecken können wir das Modell mit der Querladung schätzen:
mediations_modell_crossload <- "
# Messmodell
optimism =~ optimistic_1 + optimistic_2 + optimistic_3 + optimistic_4
lifesat =~ satisfaction_1 + satisfaction_2 + satisfaction_3 +
satisfaction_4 + satisfaction_5
peer =~ peer_1 + peer_2 + peer_3 + peer_4 + peer_5 + satisfaction_1
# Strukturmodell
optimism ~ peer
lifesat ~ peer + optimism
"
med_fit_crossload <- sem(mediations_modell_crossload, data = data)
summary(med_fit_crossload)lavaan 0.6.17 ended normally after 45 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 32
Used Total
Number of observations 289 300
Model Test User Model:
Test statistic 134.306
Degrees of freedom 73
P-value (Chi-square) 0.000
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
optimism =~
optimistic_1 1.000
optimistic_2 1.046 0.186 5.611 0.000
optimistic_3 1.662 0.260 6.400 0.000
optimistic_4 1.949 0.301 6.481 0.000
lifesat =~
satisfaction_1 1.000
satisfaction_2 1.298 0.223 5.818 0.000
satisfaction_3 0.854 0.203 4.213 0.000
satisfaction_4 1.247 0.214 5.835 0.000
satisfaction_5 1.805 0.290 6.220 0.000
peer =~
peer_1 1.000
peer_2 0.844 0.088 9.620 0.000
peer_3 0.609 0.069 8.789 0.000
peer_4 0.924 0.089 10.407 0.000
peer_5 1.088 0.093 11.656 0.000
satisfaction_1 0.327 0.087 3.743 0.000
Regressions:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
optimism ~
peer 0.205 0.056 3.698 0.000
lifesat ~
peer 0.174 0.052 3.330 0.001
optimism 0.321 0.094 3.420 0.001
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.optimistic_1 0.585 0.053 11.105 0.000
.optimistic_2 0.460 0.043 10.727 0.000
.optimistic_3 0.442 0.054 8.215 0.000
.optimistic_4 0.331 0.059 5.635 0.000
.satisfaction_1 0.417 0.039 10.762 0.000
.satisfaction_2 0.445 0.043 10.306 0.000
.satisfaction_3 0.767 0.066 11.623 0.000
.satisfaction_4 0.403 0.039 10.267 0.000
.satisfaction_5 0.202 0.039 5.150 0.000
.peer_1 0.357 0.036 9.800 0.000
.peer_2 0.352 0.034 10.435 0.000
.peer_3 0.251 0.023 10.872 0.000
.peer_4 0.306 0.031 9.806 0.000
.peer_5 0.202 0.027 7.403 0.000
.optimism 0.133 0.038 3.512 0.000
.lifesat 0.094 0.028 3.364 0.001
peer 0.345 0.055 6.321 0.000Die Querladung wird mit 0.327 geschätzt und \(\chi^2 = 134.306\). Der Vergleich mit dem \(\chi^2\) des Ausgangsmodells (148.526) zeigt eine Differenz von 14.220 (vgl. mi = 14.737).